算術幾何平均の展開式

質問

はじめまして。楕円関数論に興味を持って勉強しております。
ガウスが発見した算術幾何平均の展開式、

\frac{1}{M(1+x,1-x)} = 1 + frac{1}{2}^2 x^2 + frac{3}{8}^2 x^4 + ...

の導出法をご存知の方教えてください。または、載っている本を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

回答No.1

siegmund

a,b の算術幾何平均 M(a,b) は
(1)　　　frac{1}{M(a,b)}
　　　　　= \frac{2}{\pai} \int_0^{\pai/2}
　　　　　 frac{d\theta}{\sqrt{a^2 \cos + b^2 \sin^2\theta}}
で表されます．
(1)の分母でａを外に引っ張り出すなどしますと
(2)　　　frac{1}{M(a,b)}
　　　　　= frac{2 K'(b/a)}{\pai a}
になります．
K'(k) = K(k') = K(\sqrt{1-k^2}) で，K は第一種完全楕円積分
(3)　　　K(k) = \int_0^{\pai/2} frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}
です．
あとは，a = 1+x，b = 1-x と，K(k) の展開式
(4)　　　K(k) = \frac{\pai}{2} \sum_{r=0}^\infty
　　　　　　　　[ \frac{(2r-1)!!}{(2r)!!} ]^2 k^{2r}
を整理すれば，string さんの式が出てきます．

でも，(1)はどうやるんでしたっけ？
楕円 \vartheta_j 関数(j=0～3)の \vartheta_j(0|2\tau) を
\vartheta_n(0|\tau) で表す公式のどれかが算術平均と幾何平均の形になっていて，
そこがキーポイントになっていたと思います．
ちょっとよく思い出せません(というか，私の知識はそんなもの)．

どなたか楕円関数自由自在という方のフォローがあるといいんですが....

お礼

ご回答を頂き、誠にありがとうございます。

算術幾何平均と楕円積分の対応を認めれば、なるほど簡単な議論で導出されるのですね。

ガウスは、算術幾何平均の性質、

M(1+k,1-k) = \frac{1}{1+t^2} M(1+t^2,1-t^2)
ただし、　k = \frac{2t}{1+t^2}

から、展開式を導いたようです。それと、楕円積分を二項展開して積分した式が一致することから、（レムニスケート積分の時に発見した）楕円積分と算術幾何平均との対応を改めて確認していったようです。

算術幾何平均の性質から導出したいと知恵をしぼっております。
また、お助けください。