数列の問題です よろしくおねがいします

質問

http://photos.yahoo.co.jp/ph/jbqqm953/vwp?.dir=/ca7b&.src=ph...
という問題があり、
http://photos.yahoo.co.jp/ph/jbqqm953/vwp?.dir=/ca7b&.src=ph...
という計算が出てくるんですが、この計算が出来ません
式を立てることは出来るのですが・・・・
解説がこれだけなので、どう考えればいいのか分からなくて

よろしくお願いします

回答No.3

nettiw · ベストアンサー

>>式を立てることは出来る。
>> この計算が出来ない。(どの計算でしょうか。）
>>解説がこれだけ。
　この階差数列の解き方は（別解）です。
　[2^(n+1)]で割るのではなく、
　[3^(n+1)]で割って、特性方程式に持ち込むのがいいのでは。
　とにかく、書いて見ます。
---
>> a【1】=1
>> a【n+1】=2・a【n】+[3^(n+1)]　

両辺を[2^(n+1)]で割って、
(a【n+1】/[2^(n+1)])=(a【n】/[2^n])+[(3/2)^(n+1)]

b【n】=(a【n】/[2^n]) と置くと、
　b【1】=(a【1】/[2^1])=(1/2)
　b【n+1】=b【n】+[(3/2)^(n+1)]

　b【n+1】-b【n】=[(3/2)^(n+1)]
数列｛b【n】｝は初項(1/2),階差数列の一般項が[(3/2)^(n+1)]。

n≧2
b【n】=(1/2)+Σ[k=1,n-1][(3/2)^(n+1)]
　　　=(1/2)+[(3/2)^2]Σ[k=1,n-1][(3/2)^(n-1)]
　　　=(1/2)+[(3/2)^2][({(3/2)^(n-1)} - 1)/{(3/2)-1}]
　　　=(1/2)+2[(3/2)^2][({(3/2)^(n-1)} - 1)
　　　=(1/2)+2・{(3/2)^(n+1)}-(9/2)
　　　=2・{(3/2)^(n+1)}-4
　　　=2・(3/2){(3/2)^n)}-4
　　　=[　3{(3/2)^n} - 4　]

　n　に　1　を入れると3{(3/2)^1}-4=(9/2)-(8/8)=(1/2)
　この式はn=1のときも成立する。

b【n】=a【n】/[2^n]に戻し、
a【n】/[2^n]=[3{(3/2)^n}-4]
a【n】=[3{(3/2)^n)-4][2^n]

よって、　a【n】=[3^(n+1)]-[2^(n+2)] ...　。

回答No.2

noname#75273

Σ[k = 1 ～ n - 1](3 / 2)^(k + 1) 計算を考えると。

k = 1 のとき、(3 / 2)^(1 + 1) = (3 / 2)^2
　⇒　初項：(3 / 2)^2

公比：3 / 2

項数は、Σ[k=1 ～ n - 1]なので、項数：n - 1

初項、公比、項数がわかったので、等比数列の和の公式に当てはめれば完了

回答No.1

noname#75273

a_(n + 1) = 2 a_n + 3^(n + 1)
の両辺を　2^(n + 1) で割ると
a_(n + 1) / 2^(n + 1) = a_n / 2^n + ( 3 / 2 )^(n + 1)
ここで、b_n = a_n / 2^n とくと b_n は階差数列になります。

>> この計算が出来ません
どの部分計算でしょうか、「Σ部分」でしょうか」それとも「連分数の計算」でしょうか。

補足

連分数の計算の計算ところです
よろしくおねがいします

　　　　　　　　　　　　　　n-1
ｎ≧２のとき　　1/2　+　Σ(3/2)^(k+1)の計算です
　　　　　　　　　　　　　　k=1