線形代数(行列)の応用、および世界観について

質問

大学１年生、数学専攻です。
最近、線形代数について学習をはじめたのですが、
どうも小さい部分からやっているせいか、全体像がつかめません。
そこで教えて欲しいのですが、

・なぜ行列、行列式を利用しなければいけないのか。
　それは微分方程式や、グラフ理論などをある意味「視覚化」
　するものなのか。私には余計ややこしい気がします。

・行列式や、固有値、写像や基底というのは、
　この分野を理解する上で、どういう役割があるのか。
　あるいは、お互いにどのようなつながりがあるのか。

大学数学に関してはまだまだ初心者なので、
なるべく解りやすく説明していただけるとうれしいです。

(本は数冊読んでみましたが、どうしても全体像がつかめません。
数式などは提示しなくてもいいので、「言葉」の面での
説明をお願いします。）

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

補足を拝見しました。

　ご質問は「鶴亀算と連立方程式と行列は本質的に何も変わらない。」そういうご主旨でしょうか。出てくる答は同じでも、抽象度が違います。
　ベクトルの張る空間に対する演算子として行列を扱うことで、何次元の空間でも幾何学が展開できます。また行列そのものを対象として扱うことによって、連立方程式系同士の関係が論じられます。これらの事はお気づきでしょう？
　線形代数は一般に無限自由度の線形空間を対象にします。ちょっと不正確だけど無限次元の行列を扱うようなもの。要素に分解していたんじゃ扱えません。行列の本を何冊見たって、行列のことしか書いてないですよ。取りあえず、抽象代数、あるいは関数解析の本でも読んでみてください。

　大学は教えて貰うのを待っている所ではありませんよね？むしろ、教授や先輩や図書館といった「設備」を自由に活用する権利を持っていらっしゃるんです。（持ち腐れのまま卒業するひとも多いようですが...）今時の大学は登録していない講義を勝手に聴講に行くと怒られるンですか？まさかそんなバカな。どんどん見聞をひろめ、先輩方に教えを請うのも良い手です。教授室に押し掛けて直に相談するのもアリです。ビビることありません。がっちり利用致しましょう。数学科の学生さんとして、どんな分野をやろうとなさっているかにも依ると思いますので、いろいろ相談して適当な教科書を紹介して貰うのが良いと考えます。

お礼

> 連立方程式系同士の関係が論じられます。

なるほど．．．としか言いようがないほど、気付きませんでした。
行列を学ぶときは行列しか頭に思い浮かばず、
連立方程式のときも連立方程式しか頭に浮かばず、という状態でした。
お互いの関連性を考えながら学習していかなければいけないですね。
図だとほんの限られた次元しか表現できないけれど、
行列を使えば、簡単(じゃない？)にそれを表現できる、
何次元でも演算その他が可能である、ということですね。

…ちなみに、通信制の大学なので、施設とか無いんですよね。
　教授の言うこともどうも的を得ないで…
　私が今やっているのは、そういった行列の演算法とか
　関連性の探し方とかいう、本当に技術的なものなんですね。