正規分布の近似確率求め

質問

σは正規分布のデータしか分からない。
σ1、σ2....σｎ　値が小→大この順番のｎ個データを
取った。この五個データの近似確率を求め用の式がひとつ見付かったけど、意味が分からない。
　Kε(i)＝1-i/（ｎ+1）
　この式については　どなたが分かれば教えてください。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

何の確率の話をしているのか分からないが、多分、以下のようなことだろうと思います。

[1] 確率変数σの測定値n個を小さい順に並べたものを
σ1< σ2< …< σn
とする。σがσi以上の値を取る確率をP(i)とする。nが大きい時、P(i)は
P(i) ≒1- i/(n+1)
と推定できる。
　ただし、iが1に近い時、および、iがnに近い時のP(i)は、推定誤差が非常に大きい。このため、n=5程度では、この方法は有効ではないだろう。
●「σが正規分布に従う」ということは、[1]の話には関係ない。

[2] 「σが正規分布に従う」ということが分かっている場合、その正規分布の平均mと分散s^2を推定することができる。
m = (σ1+ σ2+ …+ σn)/n
s^2 = ((σ1-m)^2 + … + (σn-m)^2)/(n-1)
（ “^2”は「2乗」のこと）
これで、σがどんな正規分布に従うのかが推定できた。
　標準正規分布（平均0、分散1の正規分布）に従う確率変数がx以上の値を取る確率は、累積正規分布表を使って知る事ができる。これをQ(x)と書こう。
　σがy以上の値を取る確率をR(y)とすると、
R(y) = Q((y-m)/s)
である。
（Excelが利用できるのならば、累積正規分布表を使わなくても
=normdist(y,m,s,1)
によってR(y)が計算できる。）
●「σ1, σ2, …, σn が小さい順に並んでいる」ということは、[2]の話には関係ない。

お礼

大変有難う御座いました。やっと分かりました。
P(i) ≒1- i/(n+1)　この式はｎがいくら以上で適用出来ますか？具体的な値が知りたいです。

回答No.2

stomachman

ANo.1のコメントについてです。

> この式はｎがいくら以上で適用出来ますか？

　確率変数を測定したときに、平均値以上の値が出る確率は1/2。ではn回測定したらn/2回が平均値以上になるかというと、そうではない。ばらつきがあります。
　n回の測定で平均値以上の値がi回出る確率は、nが大きいとき、平均n/2,分散n/4の正規分布で近似できます。従って、95%の確率で
|i-n/2| ＜ 1/√n
が成り立つ。
　これはどういう意味かというと、
「Pは本当は1/2という値であるはずなのに、 P=1-i/(n+1) を使って計算した場合、『得られたPの値の持つ誤差の絶対値が1/(n√n)以内である確率』が95%である」
ということです。

　同様に、確率変数があるxよりも大きい値を取る真の確率がpであるときに、n回の測定でx以上の値がi回出る確率は、nが大きいとき、平均np,分散np(1-p)の正規分布で近似できます。従って、95%の確率で
|i-np| ＜ 2√(p(1-p))/√n
が成り立つ。つまり
「Pは本当はpという値であるはずなのに、
P=1-r/(n+1)
を使って計算した場合、『得られたPの値の持つ誤差の絶対値が2√(p(1-p))/(n√n)以内である確率』が95%である」
ということです。

　ですから、Pにどの程度の誤差を許すかによって、nが幾らあれば足りるかが決まります。
　注意すべき事は、誤差の範囲（ 2√(p(1-p))/(n√n) ）がpによって違うということです。すなわち、nが同じなら、p=1/2の場合が一番誤差が少なくて、pが0に近いとき(iが1に近い場合）や、pが1に近いとき(iがnに近い場合）には誤差がもっとずっと大きくなる。これはANo.1でも触れた通りです。