- ベストアンサー
わかりません；
こんにちは、数学が苦手なものです。わからないところがあります。 問題は 「aとbを定数とし、f(t)=1+at+bt^2-costとする。以下の問いに答えよ。 関数f(t)の値が区間0＜t＜πにおいて増加し、f(t)のグラフがその区間で下に凸であるような最小の定数aとbを求めよ。」 です。 回答は 「関数f(t)は0＜t＜πで増加するから、この区間で f'(t)=a+2bt+sint≧0・・・(1) 又この区間でf(t)のグラフが下に凸であるから f"(t)=2b+cost≧0・・・(2) (1)(2)が0＜t＜πをみたすすべてのtについて成り立つから (2)より 2b≧1 (1)(2)より f'(0)=a≧0 したがって、条件をみたす最小の定数は a=0,b=1/2」 となっているのですがわからないのは 0＜t＜πをみたすすべてのtについて成り立つのなら 2b≧-1 だから b=-1/2 じゃないのですか？ どういうことでしょうか？
- syunnda
- お礼率82% (1225/1492)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数2
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
すみません。訂正です。 「最悪－１の場合」→「最悪－１に近づいた場合」
その他の回答 (2)
- proto
- ベストアンサー率47% (366/775)
0<t<πで-1<cos(t)<1ですから、例えばb=-1/2だと f''(t) = -1 + cos(t) はt=2π/3の時 f''(2π/3) = -1/2 < 0 となってしまいますよ。
お礼
おかげさまで理解できました。 ＾－＾ありがとうございました。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
f"(t)=2b+cost≧0・・・(2) 0＜t＜π なので、 -1 < cost < 1 ですね。 つまり、cost が最悪－１の場合でも、(2) が成り立つ必要があります。 ですから、(2) が常に成り立つためには、２ｂ≧１です。
関連するQ&A
- 2次関数の最大・最小
2次関数の最大・最小 aが実数として、a<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x+3がある。この関数の最大値、最小値をそれぞれM(a),m(a)とするとき、関数b=M(a),b=m(a)のグラフをab平面に（別々に）書け。 最大・最小となる候補を利用 y=d(x-p)^2+qのグラフが下に凸の場合、 ・区間α<=x<=βにおける最小値は、x=pが区間内であれば、頂点のｙ座標q そうでなければ、区間の端点でのf(α）,f(β）のうち小さいほう ・区間α<=x<=βにおける最大値は、区間の端点での値f(α）,f(β）のうちの大きいほう である。結局、「最大値や最小値にｂなる可能性のある点は、頂点と両端の点の３つのみ」であるから、 「頂点のy座標（頂点が区間内にあるとき）、および区間の端点のｙ座標からなる３つのグラフを描いておき、最も高いところをたどったものが最大値のグラフ、最も低いものをたどったものが最小値のグラフである。 教えてほしいところ 「最大値や最小値にｂなる可能性のある点は、頂点と両端の点の３つのみ」であるのは理解できます。しかし、 「頂点のy座標（頂点が区間内にあるとき）、および区間の端点のｙ座標からなる３つのグラフを描いておき、最も高いところをたどったものが最大値のグラフ、最も低いものをたどったものが最小値のグラフである。という部分が理解できません。 何故、たどったものがそれぞれ最大値または最小値のグラフだといえるんですか？？ 論理的に教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- tのある区間と、全てのtでのf(t)≧0
全てのtでのf(t)≧0のとき、tのある区間ではf(t)≧0となっているかがわからないので質問します。 問題は、 tの関数f(t)を f(t)=1+2at+b(2t^2-1)とおく、区間-1≦t≦1のすべてのtに対して f(t)≧0であるようなa,bを座標とする点(a,b)の存在する範囲を図示せよ。 です。 f(t)=2bt^2+2at+1-bとしたあと、 自分の解答では、b<0とb=0のときは本と解き方は同じでした。しかしb>0のときの解き方がちがいました。自分は、b>0のときf(t)は下に凸の放物線で、その判別式が0以下ならf(t)は全てのｔにおいて、x軸に接するか上にあるので、区間-1≦t≦1のすべてのtに対して f(t)≧0となるとしましたが、本の解答では、f(t)の軸-a/(2b)が、-1以下か、-1より大きく1より小さいか、1以上かの３つの場合分けをしていました。 どなたか、なぜ判別式が0以下の考えがまちがっているかおしえてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 媒介変数を使った関数のグラフ
いつもお世話になっています。 以下の問題の着眼点がわからず困っています。 媒介変数tを用いてあらわされる x=t-sint y=1-cost (0<t<2π） について、グラフが上に凸であることを示せ。 このために dx/dt=1-cost dy/dt=sint dy/dx=sint/(1-cost) d^2x/dt^2=sint d^2y/dt^2=-cost d^2y/dx^2=-cost/sint を導き [t,x,y,dy/dx,d^2y/dx^2][t:(0)、、2/π、、π、3、/2π、、(2π)] の増減表を作ったときに、どこを指摘して、グラフが上に凸であると言えるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数のグラフ作成について教えて下さい。
三角関数のグラフ作成について教えて下さい。 y=sin(ax-bt)のグラフを作成する。 ＊a,bは定数である、横軸にx、縦軸にyを取る (1)a=1,b=1で、t=π/2～1.57の時 (2)a=1,b=－1で、t=π/2～1.57の時 (3)以上から、定数a,bの変化とともにおこるグラフの変化について文章で説明する
- ベストアンサー
- 数学・算数
- aを実数としてa<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x
aを実数としてa<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x+3がある。この関数の最大値・最小値をそれぞれM(a),m(a)とするとき、関数b=M(a),b=m(a)のグラフをab平面に（別々に）書け。 解答 ｙ＝f(x)のグラフは下に凸であるから、a<=x<=a+2におけるf(x)の最大値は区間の端点で取る。よって。 M(a)=max{f(a),f(a+2)}である。次に、最小値を求める。 頂点のｘ座標が区間a<=x<=a+2内にあるとき すなわち-1<=a<=1のとき、m(a)=f(1)=2 それ以外のとき、m(a)=min{f(a),f(a+2)} ・・・・・・・以下省略 教えてほしいところ M(a)=max{f(a),f(a+2)}だけだと説明が不十分な気がします。どんな時、f(a)でどんな時f(a+2)なのか記述しないといけないとおもうんですが・・ つまり最大値の場合は軸が区間の中央より左、中央、中央より右になるようなaの範囲に場合分けして、 書かないといけないのでは？？？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解析学の質問です
次のように問題を解いてみました。 間違いがあれば、正しい解き方を教えてください。 【問題】 1. x=a*cost, y=b*sint のとき、dy/dx , d^2*y/dx^2 を求めよ 【解答】 dx/dt = -a*sint, dy/dt = b*cost となるので、 dy/dx = b*cost/(-a*sint) = -b/a * cost/sint = -b/a * 1/tant = -b/(a*tant) d^2y/dx^2 は、(d/dx)*(dy/dx)なので、(d/dt)*(dy/dx)*(dt/dx)とおけるから、 （与式) = d/dx{(-b/a)*(1/tant)}*(1/-a*sint)である。 よって、-(b/a)*(1/sec^2*t)*(1/-a*sint)= b/(a^2*sint*sec^2t)=b/{a^2*sint*(1/cos^2t)} = b*cos^2t/a^2*sint = (b/a^2)*(cost/sint)*(cost) = (b/a^2)*tant*cost 以上、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連続な凸関数であるための必要十分条件
岩波数学辞典の凸関数の項で、実関数 ｆ(ｘ)がa≦ｘｂ≦で連続な凸関数であるための必要十分条件は、適当な単調増加関数ｐ(ｘ)で ｆ(ｘ)＝ｆ(a)+∫p(x) と書かれる。（積分区間は、aからxです。） とありますが、その証明を探してもなかなか見つかりませんでした。 分かる方がいれば、よろしくお願いします。 。
- 締切済み
- 数学・算数
- 二階線形常微分方程式の問題について教えてください。
二階線形常微分方程式の問題について教えてください。 y"+2y'+2y=0,y(0)=1,y'(0)=1 の解き方ですが、 λ1=-1+i,λ2=-1-i より a=-1,b=1 となりました。 一般解が y(t)=e^(at)(C1cos(bt)+C2sin(bt)) なので y(0)=C1=1 y'(t)=ae^(at)(-C1bsin(bt)+C2bcos(bt)) y'(0)=-C2=1 C2=-1 よって y(t)=e^(-t)(cost-sint) と解きましたが答えは y(t)=e^(-t)(cost+2sint) となっています。 どこが間違っているのか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 区間が変化する二次関数
学校のノートを見て復習してわからないことがあったので、教えてください。区間が変化する二次関数です。下に凸の二次関数として、変化する区間をk≦x≦k+2とする、とあります。 最大値は区間の端で取る⇒f(k)=f(k+2)のkの値で場合わけ。 最小値は頂点か区間の端で取る⇒k+2<軸,k≦軸≦k+2,軸<aで場合わけ。 ポイントとして、まとめられている場所なのですが、二つとも⇒のあとがわかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど。(2)が常になりたちかつbの最小値ということですね。 bの最小値ばかり気にしていました。 ありがとうございました。