ここの人たちは皆さん賢いですね

質問

どんな質問をされてもだいたい回答がくるというのがすごいなといつも感心してます。僕は解けなかったのですがこんな問題も解けますか？
　二次元球面から二次元トーラスへの可微分写像の写像度は0であることを示せ
解いてくださいというのではなく皆さんはこれぐらいの問題もわかるのかということが知りたいのですが、皆さんは難なく解けますか？

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

問題の意味そのものは
大学の数学科の学部三年生くらいのレベルでしょうか．
＃位相幾何の意味での写像度と
＃多様体論の意味での写像度とが一致することと
＃サードの定理くらいかな
実際，この問題は京都大学の数学系大学院の院試の問題です．
しかし，いざ解くとなると・・かなり微妙というか
さすが院試問題。

写像度が0ではないということは，
その写像が全射であることを意味するので，
要はS^2からT^2=S^1 x S^1への全射が存在しないことを
いえばよいのでしょうが・・・
直観的には「あるわけない」んですが，
問題のレベルにあわせた解答として
きちんと書くにはどうしたら．
＃（可微分な）全射が存在するならば，
＃T^2の任意の閉道の逆像がS^2では1点に可縮になる・・(*)
＃はずだが，これは矛盾。。けど，(*)を示すには？・・堂々巡り(-_-;
＃＃そもそも，写像度を計算することで，
＃＃全射の非存在をいうのが筋道なのか？

ということで，他の方の解説を期待して待ちます．

回答No.2

masuda_takao

数学科出身ではありませんが、一介の数学趣味人です。
　数理的な手法での研究経験もある者です。

　ご質問にある可微分写像の写像度の問題、面白そうだなと思います。
　可微分写像と写像度の定義がわかれば、取り敢えず問題の扱う内容は理解出来そうですね。
　自力ですぐ解決できるものではありませんが、微分幾何学だか何かの本でも読んでやってみようかな？という魅惑に駆られる問ではあります。

　大学受験対策の演習問題なら、即答できそうな人が巷には沢山いますからね。
　逆に、多くの人にとって興味深く思えるオリジナルの演習問題を作れと言われたら、出来ない人が多そうですけどｗ（僕とて、問題のストックはあるが、オリジナルの出題は厳しいですね）

回答No.1

ojisan7

>二次元球面から二次元トーラスへの可微分写像の写像度は0であることを示せ

このレベルの問題でしたら、数学を専攻している人には、解ける、解けないは別問題として、充分、その意味が理解できるのではないでしょうか。数学では問題を解く以前に、問題の意味を理解することが重要です。数学を専攻していない人には、問題の意味を理解することが難しいのではないでしょうか。数学科で苦しめられた記憶は、卒業後、何年経過しても消えませんからね。

個人的には、自分自身の勉強にもなるので、この程度の質問が、この掲示板で数多く出されることを期待しています。