ｎ×ｎ複素対称行列の対角化

質問

[1 i]
[i 3]
が対角化できるかどうか？の問題なのですが
行列式：４，固有値：２のみ，固有ベクトルの張る空間：ａ・（ｉ，１）＾Ｔ
だと思うのですが正しいですか？
固有空間の次元が１であり２でないので前記行列は正則行列によって対角化できないと結論づけていいのでしょうか？

「もしも、対称行列が一次独立になった場合、 行列の対角化はどのようにして求めたら良いのでしょうか？ 」という質問があったのですが対称行列に「一次独立」は定義されているのでしょうか？
私は「正則」のことだと思うのですが

回答No.3

oodaiko

数学屋のoodaikoです。

＞ベクトル空間は
＞・・・
＞・・・
＞が成り立つ．
＞の(I)(II)が満たされればＯＫです
＞所詮，物理屋の数学ですから穴だらけかも知れません．

うーん。穴だらけですね。 f(^^; （siegmund 先生、失礼します）

まずベクトル空間を定義するには係数としての体を定めておく必要があります。（つまりスカラーとしてどんな体を使うかを決めておきます）
体とは大まかに言えばその中で四則計算が自由にできるような（ただし0で割ることを除く）代数系のことです。
もっと厳密に言えば、その中で和と積という２種類の演算が定義され、各演算に関して可換群になっており（ただし和の単位元0に対する積の逆元--つまり0で割ること--は定義されない）、かつ和と積の間に分配法則が成り立つ。--ような代数系です。
そこでベクトル空間を定義する時は係数体とコミにして「体Ｋ上のベクトル空間Ｖ」という必要があります。
まあ実用的には係数体としてＣ（複素数体）またはＲ（実数体）を使う場合がほとんどなのでわざわざ言わないのでしょうが、情報数学などでは有限体上のベクトル空間などもよく使いますので。

それから(I)(II)の条件だけではベクトルの和としての逆元の存在、およびスカラーと逆元の関係などが言えません。
(I)の条件は
「元同士の和が定義され、和に関して可換群になっている。」
とした方が簡単になります
（「可換群」という言葉の定義の中に、結合法則および交換法則の成立、零ベクトル（単位元）および逆元の存在、がすでに含まれています）

とはいえ適用範囲が最初から明確になっている限り、実用的にはsiegmund先生の定義で十分だと思いますので、数学屋のこうるさいツッコミなどは無視して下さい。(^^;

さて話題になっている行列の線形独立（一次独立）についてです。

行列というのは線形写像の表現形式です。特にn次元のベクトル空間からm次元のベクトル空間への線形写像はm×nの行列として表現されます。（ただしベクトルは縦ベクトルとして表示するものとします）m×n行列全体の集合（つまりn次元ベクトル空間からm次元ベクトル空間への線形写像全体の集合）をM(m,n)と書きます。線形写像についても行列に対する演算で和とスカラー倍を定義することにより、M(m,n)はベクトル空間となります。この空間の次元はm×nになります。
ベクトル空間ですから線形独立も定義できます。従って行列にも線形独立性は定義できます。
２×２の場合はsiegmund先生の回答のように４つの基底が存在します。

確かに行列（線形写像）に関しては線形独立と言う言葉を使うことはないようです。少なくとも行列を写像として扱っている限りは。
というのも数学では写像（関数）が構成する空間の幾何学的構造を研究することもよくあるからです。その場合、例えば２×２実行列全体の空間Ｍ(Ｒ,2,2)は実数体上の４次元ベクトル空間Ｒ^4と同一視されます。そうなると線形独立とか基底の概念が意味をもってきます。
ではＭ(Ｒ,2,2)とＲ^4は幾何学的にも同じ構造ではないかと思われそうですが、そうではありません。基本的なベクトル空間としての構造は同じですが、行列の積や行列式に対応するような演算は通常のn次元ベクトル空間には定義されませんし、それはn次元ベクトル空間の内積、外積、ベクトル積などとも異なった種類の演算です。そこで行列の演算を使って距離や位相などを入れたり、あるいは各種の演算と位相構造を併せて位相群として考えたりすることにより、行列空間は単なるＲ^nより豊かな幾何学的構造をもつようになります。

また別の観点として、n×n行列をn個のn次元縦ベクトル（または横ベクトル）を横に（または縦に）並べたものと見なせば、行列の各列（または各行）｛成分ベクトルといいます｝が線形独立か線形従属か、という議論ができます。
これは行列の正則性と関係があって、行列が正則であることと成分ベクトルが線形独立であることは同値な条件になります。言い替えれば、行列式の値が0になることと成分ベクトルが線形従属であることも、同値な条件になります。

私が思うにNo 188684の質問者の方は何か勘違いしているのはもちろん、どうも線形独立と線形従属を逆に理解しているようにも思えます。
＞「もしも、対称行列が一次独立になった場合
というのはこの意味で成分ベクトルが線形従属になった場合のことを尋ねているのでないかと思います

補足

そうだとするとレモンさんの質問と回答はどのようになりますか？

詳しそうなのでちなみにもう一つお聞きします
実正方行列において対称行列と交代行列以外に有名な正規行列はありますか？

以上よろしきお願いします