サイコロのある目が出る確率に関する検定(数理統計)

質問

サイコロのある目が出る確率に関する検定(数理統計)

現在、数理統計学を独学で勉強していますが、以下のところで
詰まっています。詳しい方のご回答お待ちしております。

サイコロをn回振るとする.
p_i を i の目が出る確率としたとき,
帰無仮説 H_0 : p_i = 1/6 , 有意水準εで検定する方法を教えてください。

χ2乗分布に従う統計量をとり、それを使い棄却域を設定するようですがどのような統計量を取れば良いのか分かりません。

解説をみると, 以下のようになっています.
(n=120のとき.)
i　の目がでた回数を f_i (i=1,...,6) としたとき
統計量T = Σ_{i} {(f_i-20)^2 /20} は自由度5のχ2乗分布に従う.

この統計量Tが自由度5のχ^2分布に従う根拠はどうなっているのでしょうか。
(うまく確率密度関数を計算できません.)
また一般にn回サイコロを振るとすると

T= Σ_{i} {(f_i - (n/6))^2 / (n/6)} は自由度 5 のχ2乗分布に従うのでしょうか。

よろしくお願い致します。

回答No.1

goma_2000 · ベストアンサー

質問内容は
１）統計量の算出の仕方
２）統計量がカイ2乗分布に従うのは何故か？
の2つでよろしいですね。

１）
この問題は、いわゆる、適合度検定になっています。
ある試行を行った時、事象Aiの起こる確率をpiとすると、この試行をn回独立に行ったとき、Aiがni回現れる確率は多項分布になります。

n!/(n1!*n2!*...) p1^n1*p2\n2*....

それぞれの値Aiの発生確率に対して、niとn*piを比較して、実際に(ni-n*pi)以上離れる確率を多項分布より計算し、それが与えられた有意水準より小さいか大きいかで、仮説H0を棄却するかどうかを判断します。

２）
実際、nが大きくなるとこの多項分布の和の計算をするのが大変なのです。仮説H0の元では、nがある程度大きい場合には、Σ(ni-n*pi)/npiがカイ2乗分布に従うことが証明されていますので、カイ2乗分布を用いて計算します。

この証明は。。。よくわかりません。
参考書にでも載っていませんかね。

お礼

ありがとうございます。
恥ずかしながら、適合度検定という言葉は初めて聞きました。参考書で適合度検定という言葉をもとに探した所、詳しい解説を見つける事が出来ました。ありがとうございました。