2次方程式

質問

x^2-2x-1=0という2次方程式があるのですが、どうにも解けません。
ぱっと見、かなり単純に見えたのですが、
(x-1)^2や(x+1)^2という形に出来ないことに？？です。
-2xにするには↑のような形にするのかな？と考えたのですが、それでは2乗して-1には出来ませんし、身近に教えてくれる人がおらず、かれこれ1時間程考え込んでおります。
かなり単純な問題でしたらすみません。自分の頭の足りなさにうんざりです・・・。
どうかご指導をお願いします。

回答No.7

superjapan · ベストアンサー

「この問題を解け」という問題ならば、答えは
ｘ＝１±√２
となり、有理数の範囲では答えが出ません。

したがって、有理数の範囲では因数分解することは不可能である。という結論になります。

一般に、方程式を解く手順として、まずは因数分解できないかどうか、考えてみることです。今回catuaさんは１時間、考えたみたいですが、有理数の範囲内ではできるはずもないのです。
無理矢理、因数分解するとなると、
x^2-2x-1=（x-1+√２)(x-1-√２）
としなくてはならなくなります。

このような場合は、解の公式を使いますが、解の公式をまだ習っていないというのであれば、解の公式を導き出すときと同じ手順をふむしかないでしょう。

以下に導き方を挙げておきます。
ax^2+bx+c=0
x^2+(b/a)x+(c/a)=0
x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2+(c/a)=0
(x+b/2a)^2=(b/2a)^2-(c/a)
x+b/2a=±√(b^2/4a^2 -4ac/4a^2)
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a (二次方程式の解の公式)

上記と同じ手順を踏めば、
x^2-2x-1=0を解くことが出来ます。

「解答」
x^2-2x-1=0
x^2-2x+1-1-1=0
(x-1)^2=2
x-1=±√２
ｘ＝1±√２　（答）

※もし、解の公式を使うことが許されているならば、解の公式を使ってしまったほうが速いですよ。