ガウスの整数環

質問

ガウスの整数環でａ,b　∈Z、ｉ=√-1、(a,b)＝１とする。
「ａ＋ｂｉ，ａ－biが共通因数を持たないとき，ａ，ｂの一方は奇数、他方は偶数となる」と本にありますが、奇数、奇数の組合せがないという理由がわかりません。よろしくお願いいたします。

回答No.2

SIRAKI · ベストアンサー

No1の理由
実際に計算してみることができます。
a,b:oddと仮定すると
a=2m+1,b=2n+1 (∃m,∃n∈Z)
このとき、
(a+bi)/(1-i)
=(2m+1+(2n+1)i)/(1-i)
=(2m+1+(2n+1)i)*(1+i)/(1-i)*(1+i)
=(2m+1+(2n+1)i+(2m+1)i-(2n+1))/2
=(2m+2ni+i+2mi+i-2n)/2
=m+ni+mi+i-n
=(m-n)+(m+n+1)i
同様の計算をa-biの場合について行うと
(a-bi)/(1-i)=(m+n+1)+(m-n)i
となり、ともにガウスの整数環(Z[i]=Z+Zi)について閉じている

(計算さえあっていれば自信あり)

お礼

たしかに計算してみればいんだ。コロンブスの卵でした。
どうもお世話様でした。反省

回答No.4

SIRAKI

No2について
>ガウスの整数環(Z[i]=Z+Zi)について閉じている
の所を
(a±bi)/(1-i)∈Z[i]
に訂正させて頂きます
閉じる という用語の使い方を間違っていました。

回答No.3

SIRAKI

No2について
>ガウスの整数環(Z[i]=Z+Zi)について閉じている
の所を
>(a±bi)/(1-i)∈Z[i] に訂正させて頂きます
閉じる という用語の使い方を間違っていました。

回答No.1

adinat

双方とも奇数のときは、1-iが因数になります。1-iで割ってみましょう。そうすると分かると思います。同じことですが、1+iでも割ることができます。

補足

確かにそうなりますが、なぜでしょうか。