ベクトルについて

質問

数学の問題集をしていたら、やり方がわからないところがあったので
《問題集より》
＊　平面上の三つのベクトルをＯＡベクトル＝（４，ｘ）、
　ＯＢべクトル＝（１，２）、ＯＣベクトル＝（ｘ，６）とする。
　３点Ａ，Ｂ，Ｃが一直線上にあるようなｘの値を求めよ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　答えは　－２，５　です

回答No.1

piro19820122 · ベストアンサー

こんなので分かりますか？

A,B,Cが一直線上にあるので、AB//BC。

ABベクトル = (-3,2-x)
BCベクトル = (x-1,4)

∴-3:(2-x) = (x-1):4

(x-1)(x-2) = 12
x^2 - 3x + 2 = 10
x^2 -3x - 10 = 0
(x-5)(x+2) = 0

∴ x=5,-2

お礼

回答してくださってありがとうございました。
そういう考え方もあるのですね。
厚かましいとは思いますが余力があれば補足の問題もよろしくお願いします。

補足

よろしかったらこの問題もよろしくおねがい致します。

ｘｙ平面上に点Ａ（１，２）、Ｂ（２，１）がある。点Ｐがｘ軸上を動くとき
ＰＡベクトル＋３ＰＢベクトルの大きさが最小になる点Ｐの座標を求めよ。

回答No.4

ume_pyon

すいません。AとBの座標を取り違えてました。ですから、
No.3の解答は間違いです。
正しくはpiro19820122のとおりでよろしいかと思われます。

回答No.3

ume_pyon

補足に対する解答です。ヒントだけ・・・と思いましたが、
答えを書いたほうがまとめやすそうだったので、解答を。

素直に考えればよろしいでしょう。ポイントは、「大きさが最小になる」という記述をどう
捉えるかです。

Pの座標を(p,0)とすると、
PA(vector)=(2-p,1)
PB(vector)=(1-p,2)
ですよね。よって、
PA(vector)+3PB(vector)=(5-4p,7)
となります。ここまでは多分普通に考え付くと思います。問題はこの先。
「大きさが最小」って言われているのですから、大きさを計算してあげましょう。

PA+3PB=√{(5-4p)^2+49}
ですね。単純に考えて、(5-4p)^2は0以上ですよね。ならば、これが0になるときが、
最小値ってことになりますよね。それは、p=5/4となる点です。また、そのときのベクトルの
大きさは７ってことですね。あってますか？

一般に、長さが最小になるという場合には、
１）微分して、微分した式が０になる
２）二乗の中身が０になるようにする（二次関数の場合など）
など、いろいろな方法があります。微分積分は最もよく使われる方法ですので、
微分を習った際には、ぜひこのことを思い出して下さい。

お礼

微分は１学期にならったので、なるほど！と思いました。
１）、２）ともに頭に入れて今後の参考にしようかと思います。
親切なアドバイスありがとうございました。

回答No.2

piro19820122

面倒なので「ベクトル」は省略します。

OA = (1,2)
OB = (2,1)
OP = (x,0)
　以上のように表現できますね。

PA = (1-x,2)
PB = (2-x,1)

PA+3PB = (7-4x,5)
|PA+3PB|^2 = (7-4x)^2 + 5^2 = (4x-7)^2 + 25

これより、|PA+3PB|^2 は 4x-7=0 のとき最小値25をとる。
したがって、|PA+3PB| は x=7/4 のとき最小値5をとる。

つまり問題の答えは、(7/4,0)ということですね。
（計算間違いしてなければ）

そうそう「これで十分」という回答があった場合は、回答受付を締切にした方が良いと思いますよ。

お礼

何度もすみません。
とてもわかりやすっかたのでもう一個質問してしまいました。
＞PA+3PB = (7-4x,5)
ここまでは思いついたのです。けれどもここから関数に持っていくのが気がつきませんでした。
＞|PA+3PB|^2 = (7-4x)^2 + 5^2 = (4x-7)^2 + 25
これは座標をｘ座標、ｙ座標を二乗したということですね！
初めて知りました。

この　教えて！ｇｏｏ　は皆さんの親切さでどんどん知識がついてきます。
回答ありがとうございました！