• ベストアンサー

準正定値とは？

shroederの回答

  • ベストアンサー
  • shroeder
  • ベストアンサー率44% (4/9)
回答No.1

Z=X'AX (Xはｎ次元ベクトル、Aは対称行列、ですよネ） この２次形式が準正定値（半正定値、ともいいます）とは 任意のXに対して X'AX＞＝０が成り立つことを言います。 ０ベクトル以外の任意のXに対して X'AX＞０が成り立つときは 正定値である、と言います。 たとえば３変数の場合 ｘ^2+y^2+z^2 は正定値 x^2+(y-2z)^2(つまり x^2+y^2+4z^2-4yz） は準正定値 です x^2+y^2-z^2 は正定値でも準正定値でも負定値でも準負定値でもない ２次形式です。 もし固有値を知っているなら、 Aが正定値であることと、Aのすべての固有値が正であることが同値 Aが準正定値であることと、Aのすべての固有値が０以上であることが 同値です

zatt
質問者

お礼

なるほど、０以上ということなんですね 証明がこれで導けました。ありがとうございます

この回答がついた質問に戻る
  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 正定値行列とは？？

    x_1, x_2, ..., x_nは互いに異なる正の整数です。(i,j)成分が1/(x_i+x_j)である行列は正定値行列であることを証明してください。 正定値行列の意味を調べたのですが、意味が分かっても解決の糸口になりませんでした。ヒントをよろしくお願いします。 ※別の質問を同時に投稿させていただいています。頼ってばかりで申し訳ありません；

  • 半正定値と凸の関係

    ２次関数 　　f(x)＝cT・x＋xT・Q・x　（x∊Rn） 　　Tは転置 において、c∊Rn、Q:n×n実対称行列とするとき、 「Ｑが半正定値であるときに限り凸関数となる」とあるのですが、理由がよく分かりません。 Ｑの要素が負であっても、上に凸になるのではないのですか？

  • 二次形式と正定値

    ^Tで転置を表すとすると、 n次ベクトルxとnxn実対称行列Aを用いて、 S=x^TAx として、二次形式が表せ、任意のx≠0に対して、S>0なら、Aの固有値は全て正となる。とのことなので、とりあえず、1x1と2x2の場合は成り立っていることが証明できたので、nxnの一般の場合も証明しようとしたのですがうまくいきません。 今の所分かっていることを以下に示しておきます。 ・実対角行列は正規行列なので、直交行列をもちいて対角化可能 ・Aのそれぞれの固有値をλ_iとおくと、|A|=Π[i=0→n]λ_i (Πは全ての要素について掛けることを意味する) 　帰納法の証明に使える気がする？ ・S=x^TAx>0なら、 　・Sが下に有界なのでAの対角成分は全て正 　・下に凸なので、 　　∂S/∂x=2Ax=0 　　となる、xでS最小 　　かつ、A正則なら、 　　　x=0で最小 　　Aが正則でないなら 　　　Sが最小となるxの値が一意的に定まらない ・固有値が正なら、 　・Aは正則行列(逆行列を有する) 何かヒントになりそうなことでもいいのでよろしくお願いします。

  • 正定値行列同士の足し算 固有値

    A>0、B>0とします このときA+B>0となるという事実を次のようにして理解してます 任意のベクトルx≠0で2次形式を作ると x^T(A+B)x=x^TAx + x^TBx>0 なので正定値行列だと思いますが 結局これは固有値が全て正だということでもあると思います AとBが対称行列、かつ固有値が全て正のとき なぜA+Bの固有値も全て正になるんですか？ 2次形式を使わない証明方法お願いします

  • 凸関数

    問題 z=(x^2+y^2)^(1/2)が凸関数であることを証明せよ。 という問題なんですが、方針がわかりません。偏微分とか使うんでしょうか？よろしくお願いします。

  • 凸関数に関する問題

    関数fが区間Iで凸関数であることの定義は、 『 区間Iにおける全てのx,yに対して αf(x)+(1-α)f(y)≧f(αx+(1-α)y)　但し、0＜α＜1 』 であることとします。 この時以下が成り立つことを示せ。 (1)関数fが凸ならば，任意の3点x＜y＜zに対して f(y)-f(x)/(y-x)≦f(z)-f(x)/(z-x)≦f(z)-f(y)/(z-y) (2)関数fは内点で連続であることを示せ。 (1)の証明は出来ました。 かなり困っているので、どなたか(2)が分かる方、よろしくお願いします。

  • 凸関数について教えてください。

    関数 f(x)=Σ（i=1～nまで）x_i*logx_i　-　Σ（i=1～nまで）x_i*log（Σ（j=1～nまで）x_j） x=(x_1、x_2、…x_n)^T 、　Σ（i=1~nまで）x_i=α 、　 x_i>0(i=1,2…,n) 、α>0 です。 これを （１）上に凸であることを示す方法 （２）狭義凸であるかどうかを調べる方法 を教えてください。 式変形で関数が Σ（i=1～nまで）x_i*log(x_i/α) となるところまでは導けました。 ここから微分などをして、ヘッセをを求めて正定値や半正定値を判断していくと思うのですが、やり方がわかりません。 教えてください。よろしくお願いします。

  • ∇とベクトルの積の表現形式について

    演算子∇とベクトル関数Aが∇Aと書かれている場合、これはテンソルとなりますね。（スカラ―関数φだと∇φはベクトルでシンプルでなじみがあります。） このテンソルですが、表現の形式はマトリックスとなりますね。ベクトルの演算子∇とベクトルAで作るマトリックスには2通りの表記法が考えられます。 ∂Ax/∂x ∂Ay/∂x, ∂Az/∂x ∂Ax/∂y ∂Ay/∂y, ∂Az/∂y ∂Ax/∂z ∂Ay/∂z, ∂Az/∂z か ∂Ax/∂x ∂Ax/∂y, ∂Ax/∂z ∂Ay/∂x ∂Ay/∂y, ∂Ay/∂z ∂Az/∂x ∂Az/∂y, ∂Az/∂z です。 どちらになるのか決まっているでしょうか。∇Aと表記しただけではどちらになっているか示すことができないと思いますが。あるいはどちらでも同じことになるとか、でしょうか。 よろしくお願いします。

  • 証明問題

    関数f(x)=x^3が凸関数でないことの証明はどうやればいいのでしょうか？

  • 高等学校教科書　数学Ia>0、a<0などの意味が分かりません。

    こんばんは、数学Iなのですが、 二次関数とグラフ y=ax二乗のグラフ a>0のとき下に凸、a<0のとき上に凸とありますが これは-がつくかつかないかで違うということですか？ 二次不等式 ax二乗+bx+c>0の解はx<α、β<x ax二乗+bx+c<0の解はα<x<β の場合0より大きいか、小さいかで決まるのでしょうか_ a<0,a>0の具体的な意味が分からずずっと疑問に思っています。 また正弦定理のc/sinCが式が導けないでいきずまってます。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する
質問する