jmh の回答履歴

より簡単となるように、話を自然数だけに限定しました。 以下において、数はすべて自然数（０を含む）とします。 まず、等号 = を帰納的に定義します。 　0 = 0 　a = b ならば a + 1 = b + 1 これによって、 　2 + 3 = 5 なども導けると思います。 このことは、自然数と加法を、たとえば 　0 は {} 　a + 1 は a ∪ {a} という集合とその操作と考えた場合、等号は両辺の集合が等しいことを意味します。 ただし、1 以外の加法は、結合法則が成立するように 　a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c で定義します。 加法を無限回行った結果は一つしか存在しないので 　1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞ と表します。 乗法は 　a × b = Σ[k=1,b]a で定義します。ただし、b = 0 ならば 　a × 0 = 0 とします。 以上の定義に従って計算する時、 質問１：この式は正しいですか？ 　1 + Σ[k=2,∞]1 = 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 あるいは ∞ を使って 　1 + ∞ = ∞ 質問２：この式は正しいですか？ 　0 × Σ[k=1,∞]1 = 0 あるいは ∞ を使って 　0 × ∞ = 0 なお、∞ という記号に、ある加算結果を表す以上の意味はありません。 等号以外の自然数や演算の定義は、通常と同じにしたつもりです。

質問をご覧頂きありがとうございます。 こんなことを質問しても、答えなどないのかもしれませんが、 無限ってすごくおかしいと思うのですが私だけでしょうか？ 今日友人に、1/3+2/3=3/3=1だけど、 1/3=0.33333333無限、2/3=0.66666666無限で、0.999999999無限=1なんだよ。面白くない？ と言われて、は？？と思いました、、 1/3+2/3=1っていうこんなにも簡単で明確な表現があるのに、 なんで0.9999999999無限になってしまうの？と、、 要するに、いま私たちが使っているアラブ数字では、 3/1=0.3+0.1/3の、0.1/3を表すことができないから無限という言葉を使うのであって、 無限ってほとんど意味がないですよね？ 0.99999無限=1を証明しようとするすごく難しい文書がたくさんあるそうですが、 それって本当に意味なし、学問の為の学問、なんだか自分で訳わからなくしてるというイメージしかわかないのですが.... 質問になっていませんが、無限を受け入れる考えってすこしおかしいと思ってしまいますが、どなたかこのケースで無限を使う意味を教えて下さいませんか？？ よろしくお願いします。

より簡単となるように、話を自然数だけに限定しました。 以下において、数はすべて自然数（０を含む）とします。 まず、等号 = を帰納的に定義します。 　0 = 0 　a = b ならば a + 1 = b + 1 これによって、 　2 + 3 = 5 なども導けると思います。 このことは、自然数と加法を、たとえば 　0 は {} 　a + 1 は a ∪ {a} という集合とその操作と考えた場合、等号は両辺の集合が等しいことを意味します。 ただし、1 以外の加法は、結合法則が成立するように 　a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c で定義します。 加法を無限回行った結果は一つしか存在しないので 　1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞ と表します。 乗法は 　a × b = Σ[k=1,b]a で定義します。ただし、b = 0 ならば 　a × 0 = 0 とします。 以上の定義に従って計算する時、 質問１：この式は正しいですか？ 　1 + Σ[k=2,∞]1 = 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 あるいは ∞ を使って 　1 + ∞ = ∞ 質問２：この式は正しいですか？ 　0 × Σ[k=1,∞]1 = 0 あるいは ∞ を使って 　0 × ∞ = 0 なお、∞ という記号に、ある加算結果を表す以上の意味はありません。 等号以外の自然数や演算の定義は、通常と同じにしたつもりです。

天体は熱を失うと縮小するらしいです。 水星は38億年で7km縮小しました。月も縮小しています。では地球は膨張しているのでしょうか？縮小しているのでしょうか？ 回答者によって地球は膨張しているという人や縮小しているという人がいて意見がバラバラだったので今度こそ私が納得する結論をください。

内容を少しだけ修正しました。 実数で 0 と ∞ となるものを考えます。たとえば 　a = lim[x→∞]1/x = 0 　b = lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = lim[x→∞]x = ∞ という例が挙げられます。 加算について 　1 + lim[x→∞]Σ[n=2,x]1 = b = ∞ となりますか？ 乗算について 　a × b = (lim[x→∞]1/x) × (lim[y→∞]Σ[n=1,y]1) = lim[x,y→∞]y/x は不定（未定義）ですか？ 同じことを整数で行うと、たとえば 　c = lim[x→∞]0 = 0 　d = lim[x→∞]x = ∞ という例が挙げられ 　c × d = lim[x,y→∞]0y = 0 となりますか？ 整数環では 0 × ∞ という形の積は 0 と考えて良いのでしょうか？

内容を少しだけ修正しました。 実数で 0 と ∞ となるものを考えます。たとえば 　a = lim[x→∞]1/x = 0 　b = lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = lim[x→∞]x = ∞ という例が挙げられます。 加算について 　1 + lim[x→∞]Σ[n=2,x]1 = b = ∞ となりますか？ 乗算について 　a × b = (lim[x→∞]1/x) × (lim[y→∞]Σ[n=1,y]1) = lim[x,y→∞]y/x は不定（未定義）ですか？ 同じことを整数で行うと、たとえば 　c = lim[x→∞]0 = 0 　d = lim[x→∞]x = ∞ という例が挙げられ 　c × d = lim[x,y→∞]0y = 0 となりますか？ 整数環では 0 × ∞ という形の積は 0 と考えて良いのでしょうか？

内容を少しだけ修正しました。 実数で 0 と ∞ となるものを考えます。たとえば 　a = lim[x→∞]1/x = 0 　b = lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = lim[x→∞]x = ∞ という例が挙げられます。 加算について 　1 + lim[x→∞]Σ[n=2,x]1 = b = ∞ となりますか？ 乗算について 　a × b = (lim[x→∞]1/x) × (lim[y→∞]Σ[n=1,y]1) = lim[x,y→∞]y/x は不定（未定義）ですか？ 同じことを整数で行うと、たとえば 　c = lim[x→∞]0 = 0 　d = lim[x→∞]x = ∞ という例が挙げられ 　c × d = lim[x,y→∞]0y = 0 となりますか？ 整数環では 0 × ∞ という形の積は 0 と考えて良いのでしょうか？

ＡがＢの部分集合であることを「Ａ⊂Ｂ」のように書くことがありますが、群Ａが群Ｇの部分群であることを簡単に表す表記や書き方などはあるのでしょうか？ また、環や体などに関しても、そのようなものはあるのでしょうか？

下の写真の記号の使い方でaは実数とすることが出来るのですか？ また大学受験二次試験の記述でこれを書いても大丈夫でしょうか？ 他にこれに似た記号で二次試験に書いてもいい記号があったら教えてください。（例、整数　判別式をDとする）

大分前に、数学の苦手な人に「何で数学が出来るの？」と聞かれて、私は「数学は覚える量が少なくて楽！！」と言ったことがあるのですが、その時の相手の反応が「え！うそ～！！」って感じの驚きようでした。 この反応には、私も驚いてしまいました。 何故なら、誰にとっても「覚える量の少ない科目」に感じていると思っていたからです。 どうも私のような頭の悪い変人には、数学が国理社英に比べて覚える量の少ない科目に感じてしまうのですが、何故か他の人は「覚える量の多い科目」と認識しているようです。 もしかして私の感覚がおかしかっただけで本当は覚える量の多い科目だったのでしょうか？

3x-5y=0という方程式を解きたい時 3x=-5y とします。 そして xは5の倍数だから5nと表せる。 3×5n=-5y 15n=-5y y=-3n そして yは3の倍数だから3n 3x=-15n x=-5n しかし このような考え方はおかしくて 一度y=3nと置いたら、もうxとyとnの関係が出来ているので その後 xは5の倍数だから5nなどとおくことは出来ないと教えていただいたのですが あまり理解することが出来ません。 わかりやすく説明していただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

体K上のベクトル空間Rに、何らかの積を定義して、Rが環になるときに、RをK上の代数と言うと思いますが、初心者のため、例を探しています。 例えば、R^3(3次元空間)上のベクトル全体の集合にK=R(実数)としてスカラー積を定義したベクトル空間を考えたときに、そのベクトル空間上に外積として×を定義すれば、それは代数になりますか？ また、積構造として、内積・を定義したときは、代数にはならないですか？ よくわかっていないので、教えて頂ければ大変有り難く思います。

掛け算の数式にマナーがあるという話を聞いたのですがどのようなマナーがあるか知っている方が居ましたら教えていただけますでしょうか。

別の質問で、次のような指摘をいただきました。 私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」 相手：「２次方程式の根が２つあるように、それは許されている」 私としては、矛盾する結果を導く過程も正しいとするなら、 ある前提からある結果を導いたことにどんな正当性があるんだろうと思います。 具体的に意見が一致しなかったのは、以下の事項についてです。 (1) a^1 = a (2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数 私は a^0 をこれを前提として求めることはできないと思います。 でもその人は、 a^1=0, a^2=0, a^3=0 と続くから、a^0=0 とすることも正しいといいます。 数学的には、どちらが正しいのでしょうか？ 該当する質問が終了してしまったので、こちらで質問致します。

別の質問で、次のような指摘をいただきました。 私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」 相手：「２次方程式の根が２つあるように、それは許されている」 私としては、矛盾する結果を導く過程も正しいとするなら、 ある前提からある結果を導いたことにどんな正当性があるんだろうと思います。 具体的に意見が一致しなかったのは、以下の事項についてです。 (1) a^1 = a (2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数 私は a^0 をこれを前提として求めることはできないと思います。 でもその人は、 a^1=0, a^2=0, a^3=0 と続くから、a^0=0 とすることも正しいといいます。 数学的には、どちらが正しいのでしょうか？ 該当する質問が終了してしまったので、こちらで質問致します。

2つの変数x、yについて xをある値に定めたとき、それに対して、ただ一つのyの値が定まるとき、yはxの関数であるといい y=f(x)と表す。 fはxの式のこと。 と書かれているのですが 意味がよくわかりません。 初めはfはyとxが関数であることのマークみたいに書かれていますが その下にfはxの式のことと書かれていて 頭が混乱しています。 いったいfとは何なのですか?

部分空間の問題です V=p_3(R)とする。(Vは3次多項式、Rは実数) このとき W={ f∈V | f(0)=0,f'(0)=0}はVの部分空間か求め、それを証明するという問題何ですが

εーδ論法について勉強している大学２年のものです。 εーδ論法が重要であることの理由として、極限の概念の明確化が挙げられ、「かぎりなく近づく」などの曖昧な説明なく厳密に定式化できると説明されます。 ただ、疑問なのが、別に曖昧でも使えていればいいのでは？と思ってしまうところです。 よく説明では「曖昧な極限の定義のままであると、間違った結論に導かれてしまうことがある」といわれ、終わってしまうのですが、具体的にどのような場合で困ったことになってしまうのでしょうか？ 具体的な例と、その例で困ってしまう部分の説明などを挙げていただけないでしょうか？ 「ほら、今までの極限の定義だと、こういった問題には答えられないでしょう？」というような説明をお願いいたします。 回答よろしくお願いします。

今まで関数とは　y=x　のような形をしていて xの値が決まったらyの値も決まる、というような関係の式のことを関数と思っていたのですが y=0やy=1も関数であると聞きました これはなぜなのでしょうか？

整数とは？ 「自然数 1,2,3,... と 0 と -1,-2,-3,... のこと」という回答だと、 では、自然数とは？ などと質問が続くと思います。 なるべく簡潔で厳密な説明を求めています。