数3です！教えて下さい！

質問

教えて下さい！！！

回答No.1

f272

(1)
θ回転したときの接点をRとする。円C0の弧ARの長さは円Cの弧RPのながさと等しい。従ってORはOAをθだけ回転したものであり、QPはQRを-4θだけ回転したものになっている。つまりQPはx軸から-3θだけ回転した向きになっている。
OQ=3(cosθ,sinθ)
QP=(cos(-3θ),sin(-3θ))
したがって
OP=3(cosθ,sinθ)+(cos(-3θ),sin(-3θ))=(3cosθ+cos3θ,3sinθ-sin3θ)=(4(cosθ)^3,4(sinθ)^3)
(2)
この図形はx軸についてもy軸についても対称なので、第1象限にある部分の面積を4倍すればよい。
x=4(cosθ)^3
y=4(sinθ)^3
でありdx=-12(cosθ)^2*sinθdθである。
したがって求める面積Sは
S=4∫[0から4まで]ydx=4∫[π/2から0まで](4(sinθ)^3)(-12(cosθ)^2*sinθdθ)
=192∫[0からπ/2まで]((sinθ)^4)((cosθ)^2)dθ
=192∫[0からπ/2まで]((sinθ)^4-(sinθ)^6)dθ
=途中省略、部分積分でがんばってください。
=192*(3/4*1/2*π/2-5/6*3/4*1/2*π/2)
=6π