私自身は過去にiCloudのみでバックアップデータから復元した際にアプリ内アカウント情報も含め全て移行されていたのですが、改めて調べたところ、アプリによって仕様が異なるようです。ちなみに、確実でなくて申し訳ありませんが、CDから取り込んだ音楽データなど一部のものを除き、アプリなどはiCloudかiTunes両方でバックアップを取る必要はなく、どちらか一方でよかったかと思います。
一応インターネット上の情報を見る限りで、ゲームアプリ関連だと、仕様が大きく分けて3つあるそうで、
・iPhone本体に全てのデータを保存している
→バックアップから復元した際にアカウント情報も含め復元される
・GameCenterサーバーにデータが保存されている
→同上
・そのゲーム提供会社のサーバーにデータが保存されている
→iCloudまたはiTunesからバックアップ復元されるのはアプリ本体のみでプレイデータはゲーム会社側のサーバーにある。そのため、IDとパスワードは、iPhone本体でバックアップからの復元を完了した後にアプリを起動して復元(または移行手続きや機種変更などという表記の場合もあります。)のメニューを開き、手動でIDとパスワードを入れる必要がある。
ということのようです。
ちなみに、私が参考にした所に書かれていた限りでは、例えば
ケリ姫スイーツ
ぷよぷよ!!クエスト
ドラゴンリーグＸ
ラブライブ！
ブレイブフロンティア
チェインクロニクル
ドラゴンポーカー
ガンダムカードバトラー
SDガンダム ジージェネレーション フロンティア
アルカナ・マギア
これらは、上記3番目の、自分でIDとパスワードを入れなければいけないアプリのようです。なので、機種変更やリセットの前に所定の手続きをしたり、IDとパスワードを控えておく必要があるようです。特に控えていなくて破損などしてしまった場合は、データが無効になるか、所定の手続きをしたことによる救済措置が行えるかと思われます。
また、iPhone自体の設定にも、バックアップを取るアプリ、取らないアプリを任意で設定できるようです。恐らくですが私が経験した限りでは、バックアップ自体を行う設定をONにした時点で、アプリのバックアップを行う設定をすれば、全てのアプリは一旦バックアップがONになり、任意でOFFに出来る、という仕様だったかと思いますので、OFFにした記憶がなければ、バックアップ自体は問題なく行われていたかと思います。
結論として、iCloud・iTunes関係なく、アカウントは復元されるものと、手動入力が必用なものに分かれる、ということのようです。
あまり詳しくないのに回答してしまって申し訳ありません。ご参考頂けましたらと思います。恐らく、ログイン出来なくてデータが引き継ぎされなくてお困りのものがあるのかなということを察するのですが、ほとんどのゲームは会員登録せず、ランダムに発行されるIDとパスワードまたはランダムに発行されるIDと自身で入力した任意のパスワードが必要になるタイプが多いと思うので、IDとパスワードがお分かりにならない場合は復旧や移行は厳しいかもしれませんが、念のため、該当アプリのサポートセンターにお問い合わせ頂くのもよろしいかもしれません。
お礼
わざわざありがとうございます！ 不思議なことに、ぷよぷよクエストは 普通にアカウント引き継ぎされていました… ラブライブに関しては課金していたので、なんとか課金データから直せないか問い合わせ中です。 アドバイスありがとうございました！