直線と曲線の問題です

質問

k>0とし、f(x)=x3乗-6xとする。xy平面上の
曲線Ｃ：y=f(x), 直線l:y=k(x-1)-5
の相異なる３つの交点をＡ1(a,f(a)),A2(b,f(b)),A3(c,f(c))とし、点Ａi(i=1,2
,3)におけるＣの接線とＣの交点のうち点Ａi以外の交点を点Ａi’(i=1,2,3)とおく。このとき次の各問いに答えよ。
（１）点Ａ１’の座標をaで表せ。
（２）３点Ａ1’，Ａ2’，Ａ3’は同一直線状にあることを示せ。
です。お願いします。

回答No.1

taropoo · ベストアンサー

この問題、直線lの細かい定義は余り関係無いんですよ。
要は３次関数と直線が３点で交わった時、各交点での接線と３次関数との交点３つが一直線上に並ぶと言う事を示す問題なんです。
だから解答にはy=k(x-1)-5は一度も出てきません。
グラフを書けば分かりますがk>0の時は必ず３点で交わります。だから３点で交わるよくらいに受け流して本質を付いて行きましょう。

それでは参ります。
（注：xの３乗はx^3と書きます。２乗も同様です。）

（１）
Ａ１(a,f(a))での接線の方程式は
y=f(a)+f'(a)(x-a)
これと３次曲線y=f(x)との交点Ａ１’のｘ座標は
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)
これにf(x)=x^3-6x, f'(x)=3x^2-6を代入して
x^3-6x - a^3-6a = (3a^2-6)(x-a)
(x-a)(x^2+ax+a^2)-6(x-a) = (3a^2-6)(x-a)
x≠aだから両辺をx-aで割って移項すると
x^2+ax-2a^2=(x-a)(x+2a)=0　　∴x≠aよりx=-2a
この時ｙ座標は
f(-2a)=(-2a)^3-6(-2a)=-8a^3+12a
よってＡ１’の座標は(-2a, -8a^3+12a)
同様にＡ２’の座標は(-2b, -8b^3+12b)
Ａ３’の座標は(-2c, -8c^3+12c)
となります。

（２）３点Ａ１，Ａ２，Ａ３が一直線上に並んでいるので次の式が成り立つ。
(f(b)-f(a))/(b-a) = (f(c)-f(a))/(c-a)　　…(a)
Ａ１’，Ａ２’，Ａ３’のｘ座標をa', b', c'と一旦おくと
(f(b')-f(a'))/(b'-a') = (f(c')-f(a'))/(c'-a')　　…(b)
が示せればいいことになります。
式(a)より
(f(b)-f(a))/(b-a) - (f(c)-f(a))/(c-a)
=((b^3-6b - (a^3-6a))/(b-a) - ((c^3-6c - (a^3-6a))/(c-a)
=(b^3-a^3 - 6(b-a))/(b-a) - (c^3-a^3 - 6(c-a))/(c-a)
=((b-a)(b^2+ab+a^2) - 6(b-a))/(b-a) - ((c-a)(c^2+ac+a^2) - 6(c-a))/(c-a)
=b^2+ab+a^2 - 6) - (c^2+ac+a^2) - 6)
=(b^2-c^2+a(b-c)=(a+b+c)(b-c) = 0
b≠cよりa+b+c=0
これを使って式(b)を示します。ダッシュ(')がついてること以外は全く同じ形なので
(f(b')-f(a'))/(b'-a') = (f(c')-f(a'))/(c'-a')
=(a'+b'+c')(b'-c')
ここでa'=-2a, b'=-2b, c'=-2cだから
=(-2a+(-2b)+(-2c))(-2b+(-2c)
=4(a+b+c)(b-c) = 0　　（∵a+b+c=0)
よって３点Ａ１’，Ａ２’，Ａ３’が一直線上に並ぶ事が示された。

ちょっと長くなってしまいましたね。これでも最短距離を走って来たつもりなのですが。

お礼

詳しく答えていただきありがとうございました。この回答を参考にして自分でも頑張ってみます。