位置ベクトルについて

質問

今ベクトルを勉強しているのですが、位置ベクトルの考え方がよくわかりません。
位置ベクトルというのは、点Ｏを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Ｏに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、
そうすると、
位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか？

位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんばんは。
今はベクトルについて勉強されているんですね。

＞位置ベクトルというのは、点Ｏを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Ｏに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、

そうですね。
位置ベクトルというのは、その名のとおり、位置を表すベクトル、と考えていいでしょう。
たとえば、点Ａ(2,3)という点があったとして、それを表す位置ベクトルは、
→
ＯＡ＝（２，３）

ですよね。
また、線分ＭＮの中点Ｐの位置ベクトルは、
点Ｍ、点Ｎの位置ベクトルを、それぞれ
→　　　→
ＯＭ，　ＯＮ
とすると、
→　　　→　　　→　　　　
ＯＰ＝（ＯＭ＋ＯＮ）÷２

のようになりますよね。
その点Ｐの位置を、相対的に、原点を中心として表したときに
どうなるのだろうか？みたいな感じだと思ってください。

＞位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか？

その点の位置関係を、相対的に表せる、ということで大変便利なのです。
原点Ｏを定めておくと、平面上の点Ａの位置は、
ベクトルＯＡによって、定まりますよね。
このとき、→　→
　　　　　a＝ＯＡを点Ａの位置ベクトルといい、
位置ベクトル→　　　　　　　　→
　　　　　　aの点を、たんに、点aと呼ぶこともあります。

＞位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。

位置ベクトルは、ベクトルの中でもかなり重要ポイントです。
考え方のポイントというか、コツは、図形の証明なんかでも
「とにかく位置ベクトルで考えてみよう！」
ということです。

たとえば、今まであたりまえのような定理として使ってきた
「三角形ＡＢＣの、底辺をＢＣとしたときに、
ＡＢ，ＡＣの中点Ｍ，Ｎを結ぶ線分ＭＮは、
底辺ＢＣに平行で、長さはＢＣの半分である」

などという定理も、位置ベクトルを用いれば、分かりやすく証明されます。
上の問題は、平行、かつ半分、を示せばよいので
→　　　　　→
ＭＮ＝(1/2)ＢＣ
がいえればよいですね。
三角形の３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルを、
→　→　→　　　　→　　→
a,　b,　cとして、ＭＮ、ＢＣを、それぞれで表してみましょう。

頑張ってください。慣れると大変便利でベクトルが得意になりますよ。
ご参考になればうれしいです。

お礼

どうもありがとうございます！

＞その点Ｐの位置を、相対的に、原点を中心として表したときに
どうなるのだろうか？みたいな感じだと思ってください。

そんな感じなんですね。覚えておきます！！

＞「とにかく位置ベクトルで考えてみよう！」
中点連結定理の証明も教科書に載ってましたけど、ベクトルで証明した方がわかりやすいですよね。

参考にさせていただきます。
ありがとうございました！