座標系の偏倍なんて嫌いだあ（T-T)

質問

はじめまして。kodemarimanと言います。
皆さんよろしくお願いします。

早速ですが、質問です。多分高校数学レベルの問題です。

右上の座標が(x1,y1)=(200,200)、左下の座標が(x2,y2)=(0,0)の正方形を考えます。

次の手順で座標を変換して、この正方形を描画すると、斜めになった長方形になります。
１：座標系を反時計周りに30度回転します。
２：座標系をx方向に1.2倍、y方向に1.5倍偏倍します。
３：正方形を書きます。

ですが、次の手順だと斜めになった長方形でなく、菱形になってしまいます。
１：座標系をx方向に1.2倍、y方向に1.5倍編倍します。
２：座標系を反時計周りに30度回転します。
３：正方形を書きます。

これって、なぜなんでなんでしょう？

目的としては、このような座標変換を繰り返し行っても
（例えば座標を回転して偏倍して平行移動して座標を回転して偏倍して平行移動して
座標を回転して偏倍して平行移動して・・・）
いつでも長方形（正方形）が描かれるような座標変換を行いたいのですが・・・

ちなみにテストに使ってるソフトはGhostScriptといいます。
これはポストスクリプトのプログラムを書くと画像にしてくれる
便利なソフトです。
↓URL
http://www.cs.wisc.edu/~ghost/index.htm

回答No.5

guiter

＞やぱり長方形じゃなくて平行四辺形になってしまいました。
困りましたね。
こちらでは適当な n の値を代入して表示させると
長方形になっているようなのですが。

大丈夫だと思いますが誤解があるといけないので書いておきます。
下の回答での行列は n 回変換後の結果を出すだけですのでこの行列を何回も
掛けていくというものではありません。
１回ごとの結果を表示させるには n の値を１ずつふやして代入し
そのたびに表示させていくことになります。
（このあたりが望みのものとは違うかもしれません）

まだ、謎が解けていない状態ではあまり意味がないかもしれませんが
任意の倍率、回転の場合は次のようです。

k回目の操作である辺をAk倍、もう一つの辺をBk倍、回転角θkのとき
n回操作後の結果を求める行列は

　　┌　ΠAk*cos(Σθk)　-ΠBk*sin(Σθk)　┐
Ａ＝│　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│
　　└　ΠAk*sin(Σθk)　ΠBk*cos(Σθk)　　┘

のようになります。
ただし、ΠAk=A1*A2*…*An、Σθk=θ1+θ2+…+θnです。

お礼

どうも、kodemarimanです。
謎は解けました。ちょっと正負の符号を間違えてました。（＾＾；
じっちゃんの名にかけられるほどの謎じゃなかったです。（苦笑）

で、私の目的の方ですが、教えていただいた行列式を元に、
こういう考えで解決しました。

　　　┌　1.2*cos(nπ/6)　-1.5*sin(nπ/6)　┐
Ａn＝│　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　│
　　　└　1.2*sin(nπ/6)　 1.5*cos(nπ/6)　┘

で、座標系の回転と拡大を行ったあと、再び回転をかけるまえに

　　　┌　1/1.5　0 ┐
Bn＝│　　　 　　　　 │
　　　└　0　 1/1.2　┘

をかけて、拡大率を1に戻します。（かなり力技ですが。（＾＾；）
それからまた回転、拡大を書けるという処理を続けます。

これを繰り返す事で、目的は達成する事ができました。
どうもありがとうございました。