• 締切済み

相対性理論を数学として教えてください。

平坦トーラスという宇宙があるとします。その宇宙において相対性理論は、どのようになるか教えてください。 (物理カテに聞いてもよく分かりません) 平坦トーラスというのは、曲率が0なのに閉じていますよね。 ここで、宇宙が平坦トーラスだとします。空間が曲がっていないにもかかわらず、真っ直ぐ進むともとの場所に戻ります。 そのような宇宙で、双子の兄と弟がそれぞれの宇宙船で互いの相対速度0.96cで慣性運動をしています。この宇宙は真っ直ぐいくともとの位置に戻るため兄弟はスレ違ったあと、いづれは再びスレ違います。最初にスレ違ったとき、お互いの年齢はどちらも20歳だとします。 ここで、トーラスでない無限に広い平坦な宇宙においては、兄の立場で兄が40歳のときには兄からみて弟は25.6歳。弟の立場では弟が40歳のときには男からみて兄は25.6歳だと思います。 話を平坦トーラスの宇宙に戻します。その宇宙では、兄の立場で40歳のときに弟と再びスレ違うような構造(広さ)になっているとします。そのとき、兄はすぐそばをスレ違うように飛ぶ弟に通信で問い掛けます。内容は「僕は今、40歳だけど、君は何歳か?」です。この問い掛けに対して、弟からの返事はどんなものになるでしょうか。 物理カテでも他のサイトでも聞いてみましたが、いまいち分かりません。こちらには専門家が多いと聞いたので、こちらでお聞きしたくなりました。ちなみに、私はあまり難しすぎる話は分かりません。素人向けに教えてください。 私の興味は、平坦にもかかわらず閉じた宇宙で、相対性理論はどうなるかです。 普通に考えると宇宙が閉じていれば空間は曲がっています。その場合は一般相対性理論が適用されます。一方、平坦な宇宙では(平坦なのに閉じているなんて想定に出会ったことはないので)、特殊相対性理論が適用されます。 ところが平坦トーラスは平坦なのに閉じています。 じゃあ、平坦トーラスの宇宙で運動するものは、どのように計算されるのか? 無限に広い平坦な宇宙で逆向きに等速直線運動をする双子の兄弟は再び同じ位置で出会うことがありません。だから、互いに相手の時間が遅れていても問題ありません。 ところが、平坦トーラスでは同じ位置で出会ってしまいます。 そのとき、お互いの年齢はどうなるのでしょうか。 同じ位置で年齢を確かめあう以上は、2人の運動は、全く対称なので、同じ年齢になっていないとおかしいような気がします。 一方、例えば、最初にスレ違ったあと、兄が弟を観察し続けた場合には、弟の年齢は自分よりも歳をとるテンポが遅いです。 そうこうするうちに、兄が40歳になると再び弟とスレ違うのです。 そのとき、お互いに40歳どうしだとすると、相手は自分よりも歳の取り方が遅かったにもかかわらず、いつ、どのようにして、相手が同じ年齢になってしまうのでしょうか。

みんなの回答

  • Nakay702
  • ベストアンサー率79% (10007/12518)
回答No.1

以下のとおりお答えします。 >宇宙が平坦トーラスだとします。空間が曲がっていないにもかかわらず、真っ直ぐ進むともとの場所に戻ります。 そのような宇宙で、双子の兄と弟がそれぞれの宇宙船で互いの相対速度0.96cで慣性運動をしています。この宇宙は真っ直ぐいくともとの位置に戻るため兄弟はスレ違ったあと、いづれは再びスレ違います。最初にスレ違ったとき、お互いの年齢はどちらも20歳だとします。 ここで、トーラスでない無限に広い平坦な宇宙においては、兄の立場で兄が40歳のときには兄からみて弟は25.6歳。弟の立場では弟が40歳のときには男からみて兄は25.6歳だと思います。 話を平坦トーラスの宇宙に戻します。その宇宙では、兄の立場で40歳のときに弟と再びスレ違うような構造(広さ)になっているとします。そのとき、兄はすぐそばをスレ違うように飛ぶ弟に通信で問い掛けます。内容は「僕は今、40歳だけど、君は何歳か?」です。この問い掛けに対して、弟からの返事はどんなものになるでしょうか。 ⇒お尋ねに対する回答とは少しずれたところから始めますが、あらかじめ「相対性理論で言う時間の縮み」を確認しましょう。それは、具体的に説明すれば、以下のようになります。舞台とする慣性系(=兄弟が属する同一の引力圏という意味)が、トーラスでない無限に広い平坦な宇宙であろうと、平坦なトーラスの世界であろうと、構いません。どちらも、兄弟が属するのは静止系であるとする点では同じです。 さて、その静止系の時間をt₁とし、運動系(兄や弟)の時間をt₂とすれば、運動系の時間の縮み具合は、 《 t₂=t₁×√(1-v²/c²) 》 となります。ここで、vは運動系の速度、cは光速を表しますので、v < c という条件がつきます。vがゼロなら、運動系の時間は静止系のそれと同じで、cが光速に近づけば近づくほど際限なく運動系の時間は小さくなる、すなわち、時間が縮む・遅れることを意味します。つまり、この問題を考えるには運動系の速度だけが有意なのであって、兄や弟(という運動系)が互いに接近しようが離れようが、その位置関係などによる違いは発生しません。また、運動系の時間が縮む・遅れることは、あくまでもその運動系が属する舞台である慣性系(静止系)との「相対的関係」で認識されることですので、兄や弟の各運動系同士が互いに連絡しあっても、相互間の違いは認識できません。 >私の興味は、平坦にもかかわらず閉じた宇宙で、相対性理論はどうなるかです。 普通に考えると宇宙が閉じていれば空間は曲がっています。その場合は一般相対性理論が適用されます。一方、平坦な宇宙では(平坦なのに閉じているなんて想定に出会ったことはないので)、特殊相対性理論が適用されます。 ところが平坦トーラスは平坦なのに閉じています。 じゃあ、平坦トーラスの宇宙で運動するものは、どのように計算されるのか? 無限に広い平坦な宇宙で逆向きに等速直線運動をする双子の兄弟は再び同じ位置で出会うことがありません。だから、互いに相手の時間が遅れていても問題ありません。 ところが、平坦トーラスでは同じ位置で出会ってしまいます。 そのとき、お互いの年齢はどうなるのでしょうか。 同じ位置で年齢を確かめあう以上は、2人の運動は、全く対称なので、同じ年齢になっていないとおかしいような気がします。 一方、例えば、最初にスレ違ったあと、兄が弟を観察し続けた場合には、弟の年齢は自分よりも歳をとるテンポが遅いです。 そうこうするうちに、兄が40歳になると再び弟とスレ違うのです。 そのとき、お互いに40歳どうしだとすると、相手は自分よりも歳の取り方が遅かったにもかかわらず、いつ、どのようにして、相手が同じ年齢になってしまうのでしょうか。 ⇒上で、「相対性理論で言う時間の縮みを考えるのに、舞台とする慣性系(=兄弟が属する同一の引力圏)で、それがトーラスでない無限に広い平坦な宇宙であろうと平坦なトーラスの世界であろうと構いません」と述べました。それは、間違いないことで、 《 plala.or.jp www17.plala.or.jp/utyuu-nazo/kuukantijimi.html 》 でも確認していただけると思います。 では、なぜここでトーラスが登場するのか。それは、「有限世界内で無限に運動できる舞台を想定するためのカラクリ」と言えるでしょう。つまり、これは宇宙に浮かぶ運動場であり、加速器です。有限の場の内部で無限の動きを可能にするための舞台装置です。そもそも、宇宙空間に自給自足が可能な人口基地を造ろうとするときに思う浮かぶ「最有力な形」がこのトーラスなのです。トーラスを回転させることで、その遠心力によって外壁部分を「地面に見立てる」ことができるわけです。いちいち宇宙遊泳をして移動しなくても生活できる場面を創出できるのです。ただし、再三申し上げたように、ここでは、わざわざトーラスを持ち出す必要はほとんどありません。多少考えやすくなるかも知れませんが、ご懸念のような違いを結果するような恐れは全然ありません。 まとめ:母体たる静止系の時間t₁に対し、運動系の時間t₂は、 《 t₂=t₁×√(1-v²/c²) 》 と表せる。ただしこれは、「同一慣性系内の静止系の時間に対する運動系の時間の縮み」を見る限りにおいて、つまり、この両者の「相対的関係」として捉える限りにおいて有意となる。なお、疑問点や不明点がありましたら、コメントなさってください。

715714797
質問者

補足

ご回答ありがとうございます。 うまく説明できるかわかりませんが、疑問を書き直します。 特殊相対性理論では静止系は任意に決めることができます。ただ話を整理するために何かの慣性系を静止系として話を進めたりするだけではないですか。 で、この質問の状況を客観的にいうと、 兄を静止系とすれば、弟は0.96cで遠ざかっています(もっといえば、閉じているので、遠ざかると同時に反対方向をみれば相手は遠方から近付いてきています)。弟を静止系とみれば兄は0.96cで遠ざかっています。 また、兄でも弟でもない慣性系を静止系と見立ててもいいです。そんなうちのある慣性系をSとします。Sに対して兄はv´で飛んでいて弟は逆向きにちょうどv´で飛んでいるとすると、v´は速度合成の式から計算できます。 それはそれとして、 どうして相対速度を0.96cにしたかというと、兄からみて(弟からみて)相手の時間の進み方は、あなたがお示しの式 t₂=t₁×√(1-v²/c²)のルートがはずれて簡単になるからです。t₂=0.28t₁になります。つまり、兄の立場で兄が20年経過すると、兄からみて弟の時計は5.6年経過しているように見えます。だから、兄が40歳になったとき兄からみて弟は25.6歳です。弟を主役にしても同様です。弟が40歳になったとき、弟からみて兄は25.6歳に見えます。 これが普通の特殊相対性理論ですよね。これは兄弟が2度と同じ位置で出会うことはないので、お互いが相手の年齢が若くても問題ないです。 ところが、トーラスの場合、宇宙が空間的に周期的に繰り返しになっているので、スレ違ったあと、後方をみれば相手は離れ続けていると思ったら、前方をみればお互いに近付いてきていて、やがて、また同じ位置で出会ってしまいます。 普通の双子のパラドックスでは兄と弟の運動が違います。兄は地球にいて弟は宇宙船に乗って旅立ち加速したり減速したりして地球に戻り、兄弟は再会します。これは兄がより多く歳をとっています。 しかし、この質問の場合は、兄弟は全く同じ運動状態です。違いがないので、再会のとき相手の年齢と自分の年齢が違うのは、常識的におかしいと思います。 一方で、兄の視点からすると、スレ違ったあと、弟の時計の進みは遅くなります。 遅くなったのに、再会したときは、同じ年齢だとすると、いつ、どのようにして遅れが修正されたのか? という疑問です。

関連するQ&A

専門家に質問してみよう