基数変換の変換につきまして

質問

現在基本情報技術者の勉強をしています。

10進数から2進数への変換など基数変換がよくわかりません。

10進数の数値を 「 0 」 になるまで 「 2 」 で割り算していき、その結果の「余りの数 」を並べることによりある10進数の値を2進数の値へ変換することができることは分かるのですが、

どういう仕組みでそのようにしたら求められるのかがまだ理解しきれないのです。
とくに少数を変換するときなどはまた戸惑ってしまい、それをまた16進数や8進数などスムーズに変換することができません。

基本的な質問で大変申し訳ないのですがどうかご教授頂ければ幸いです。
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.3

ybnormal

十進数を２で割り続けていき、その余りを並べたものが２進数になるという手続き自体はわかっているようなので、そこから話を始めます。

十進数Xを２の累乗の和として表すと、
X = 2^n*An + 2^(n-1)*An-1 + 2^(n-2)*An-2 + ..... + 2^2*A2 + 2*A1 + A0
です。

このXを２で割ると、2^n*An + ..... +2*A1（長ったらしいので、これをX1としておきます）は偶数であることは明らかなので、余りがA0となり、商はX1を２で割ったものつまり 2^(n-1)*An + 2^(n-2)*An-1 + ....+ 2*A2 + A1（これも長ったらしいのでQ１としておきます）となります。

次にQ1を２で割りますが、2^(n-1)*An + 2^(n-2)*An-1 + ... + 2*A2（長いのでこれをX2とします）は偶数ですから、余りはA1、商はX2を２で割ったもの、つまり 2^(n-2)*An + 2^(n-3)*An-1 + ... A2（Q2と呼ぶことにする）になります。

次にQ2を２で割りますが、この後の処理は先に挙げたものと同様で、余りはA2、商は　2^(n-3)*An + 2^(n-4)*An-1 + .... A3(Q3と呼ぶことにする）となる。

さらにQ3を２で割って.....と続けていってこれ以上割り切れなくなるまでいくと最後の計算の余りはAnになります。

ここまでくれば、元の十進数Xの二進数表現（2^n*An + 2^(n-1)*An-1 + ... 2^2*A2 + 2*A1 + A0)と、割り算の過程であらわれる余り（A0, A1, A2....An)に関連があることがおわかりになると思います。つまり、割り算で求められた余りは、二進数表現の各項の係数となっています。したがって、余りを集めて並べれば二進数となるわけです。

お礼

もう少し数学の勉強をしなければいけないと気づかされました。回答ありがとうございました。