- 締切済み
An<An+1の証明
hugenの回答
- hugen
- ベストアンサー率23% (56/237)
(1+1/4)^4 = 1 + 4/1*1/4 + (4*3)/2!*1/4*1/4 + (4*3*2)/3!*1/4*1/4*1/4 + (4*3*2*1)/4!*1/4*1/4*1/4 = 1 + 1 + 4/4*3/4*1/2! + 4/4*3/4*2/4*1/3! + 4/4*3/4*2/4*1/4*/4!
関連するQ&A
- An={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)について…（続く）
【問題】An={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)につい数列{An}は単調増加であることを示せ。すなわちAn<A(n+1)を示せ。またAn<3であることも示せ。 （※ただし,二項定理を利用せよ。） よろしくお願いします。 二項定理にあてはめてみたのですが…そっからさっぱりです＾＾；
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 下に有界な数列{an}の極限とanの関係の証明
こんにちは。大学学部生1年です。 処理できない問題があるのでご協力いただきたく投稿しました。 なお、今考えている証明を載せておきますので、訂正などしていただけると嬉しいです。（＾＾； 【問】 下に有界な単調減少列{an}について、{an}が極限αを持つならばan≧αを証明せよ。 ∵）∃Ｍは実数,∀ｎは自然数;Ｍ≦anとする。 また、αが｛an｝の極限であることから、 ∀ε＞0,∃Ｎは自然数,ｎ≧Ｎ；｜an－α｜＜εが成り立つ。―(1) 今、an＜αと仮定すると、｛an｝は単調減少列なので、 α＞an≧an+1≧an+2≧…≧Ｍとなる。―(2) (1)より、an＜αのとき、α-an＜ε また、(2)より、α-an＜α-an+1＜α-an+2＜…となり、 αが極限であることに矛盾する。 よって、an≧α （証終） なんか変な気がするんですよね・・・ 環境依存文字が多かったため、表記が稚拙なところがあります。すみません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列(と、帰納法？)
数列ａnは ａn+1=2ａn/(１-ａn^2) n=1 2 …… をみたしているとする。 以下の問いに答えよ (1) ａ1 =1/√3とするとき 一般項ａｎを求めよ (2) tan(π/12)を求めよ (3) ａ1 = tan(π/20) とするとき ａn+k = ａn nは３以上 をみたす最小の自然数kを求めよ 数列の漸化式がtanの加法定理の形になってるのは分かるんですが、類推してから、帰納法で証明しきれませんでした。 以上３問お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数列(an)の初項から第n項までの和をSnとすると
数列(an)の初項から第n項までの和をSnとするとき、次のそれぞれの場合においてanをnの式で表せ。 1、Sn＝n(n+1)(n＝1,2,...) 2、Sn＝1/(n+1)(n＝1,2,...) 等比数列(bn)の初項から第n項までの和TnがTn＝p-3n+1/4(n＝1,2,..)と表されるとき、定数pの値を定めよ。 nを自然数とするとき、次の数列(an)の一般項anを求めよ。 1、-7,-9,-8,-4,-3,-13 2、-5,-3,1,9,25,57 誰かわかる方教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
- 条件を満たす自然数
この前質問して解決したと思ったのですが、疑問に思うことができてしまったのでもう一度質問します。 nを自然数とするとき、数列an=(3^n+5^n)/2^nとおく。 この時、nが偶数ならanは自然数でないことを示し、anが自然数となるｎをすべて求めよ。 そこで an = (9^k+25^k)/4^k = ((2x4+1)^k+(6x4+1)^k)/4~k ここで分子は4の倍数 + 2と 表す事ができるので, an= ( 4xl+2)/4^k (lは 自然数) となる。 ところでこれは分母が4の倍数であるが、分子が4の倍数+2であるため割り切れない。 したがって anは自然数でない。 との回答を頂き、これには納得しました。 ところが、その次の nが奇数であれば n=2k+1(K=0,1,2,3,,)と表すことができる。 すると与式は an= ((3x(2*4+1)^k+5x(6:4+1)^k)/2/4^k となる。 これはまた an= (4l+8)/2/4^k (ｌは自然数) と書く事ができる。 これが 自然数になるためには K=0,1のときのみである したがって anが自然数となる nは n= 1,3 のみである 。 n=1 an= 4 n=3 an=19 とできることが疑問です。 よく考えてみると、l=6,k=2やl=30,k=3でもan= (4l+8)/2/4^kは自然数となりますし・・・ かといって、そんな場合はないとの証明もできません。 分かる方、回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列｛an｝、｛bn｝の共通項から数列作成問題
よろしくお願いします。 an=8n-2 bn=6n+2 とする。 数列｛an｝と｛bn｝に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい数列｛cn｝ を作る時、cnの初項と公差を求めよ。 という問題で anの第m項と、bnの第n項が等しくなるから、 8m-4=6n+2 ⇔2(2m-1)=3n これより2と3は互いに素だからn=2k と表せられる。 よってbnのnに2kを代入して、 cn=b2k=6(2k)+2＝12k+2 ゆえにcn=12n+2 と解きましたが間違っておりました。 解答では、 an=8n-2=8(n-2)+14 bn=6n+2=6(n-2)+14 と変形できる。am=bnとすると8(m-2)+14=6(n-2)+14 よって 4(m-2)=3(n-2), m≧2、 n≧2 4と3は互いに素だから、kを自然数として m-2=3(k-1) よってm=3k-1からcnはanの第3k-1項であり、 8(3k-1)-2=24k-10=14+(k-1)*24 したがって初項14、公差２４である。 と解いてありました。 私の解答のどこがいけないのか、解答は一体何をやっているのか を教えて下さい。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題です。わかる方教えてください。
an＋1-anの漸化式です。 (1) a1=1 an＋１=an＋4nで定義される一般項anを求めよ。 (2) ｎが4以上の自然数の時2n＞3nの不等式を証明せよ。 以上(1)・(2)のとき方を教えていただきたいのです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 証明なんですが・・・
Σ(ｋ＝１ から ｎ) ｎCｋ２＾ｋ＝３＾ｎ－１を証明せよという問題なんですが・・・ 二項定理を使って頑張ってみたのですが、考えがいたらず証明できませんでした。 どなたかやり方だけでもいいので教えていただけると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の極限の証明
「a1=a,b1=b,(a＞b＞0) a(n＋1)=(an＋bn)/2 b（n＋1）=anbn^1/2 で定まる二つの数列｛an｝,{bn}は同じ極限値を持つことを示せ。」 という問題を解いていて、このリンクの証明を見たのですが、 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1463528674 証明の最後で、a_n+1=ka_n を満たす1より小さい正の実数kが存在することから、 a_n=k^(n-1)*a1 として、n→∞でa_n→0としていましたが、 a_n=f(n)として、f(x)が単調減少関数でf(n+1)=k_n(fn) (k_nはnによって変化する1より小さいある正の定数)となっても、 k_nはnに依存するので、必ずしもx（またはn)→∞でf(x)(またはf(n))→0になるとは限らないのではないのでしょうか。（ex. k_n→1 (n→∞), f(x)=(1/x)+(1/2)) その可能性はないのでしょうか？ 以下がリンク先の証明の全文です。 与えられた漸化式と0＜a＜bより帰納的に0＜an,0＜bnとなる。 すると相加・相乗平均の関係より a(n+1)/b(n+1)=(an+bn)/2√(anbn) =(1/2){√(an/bn)+√(bn/an)}≧(1/2)*2*√(an/bn)*√(bn/an) =1 ∴b(n+1)≦a(n+1)となる。 ここで等号が成り立つとすると bn=anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)=(1/2)*2an=an となり an=a(n-1)=…=a1=a=b1=b となりa＜bに矛盾する。 よって等号は成立しないので b(n+1)＜a(n+1) となり、したがって bn＜an…(*) となる。 すると an+bn＜2anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)＜(1/2)*2an=an となる。 したがって0＜anより a(n+1)=k*an を満たす1より小さい正の実数kが存在する。 すると an=k*a(n-1)=k^2*a(n-2)=…=k^(n-1)*a1=k^(n-1)*a となるから lim[n→∞]an=a*lim[n→∞]k^(n-1)=0…(**) となる。 すると(*)と0＜bnより 0＜bn＜an だから(**)からはさみうちの原理により lim[n→∞]bn=0 となる。 よって lim[n→∞]an=lim[n→∞]bn=0 となる。
- ベストアンサー
- 数学・算数