基底の濃度の一意性について
とあるサイトで基底の濃度の一意性について証明を見てたのですが、
一部分からない点があったため質問させていただきました。
以下、記載されていた内容です。
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体Kとそのベクトル空間Vに対して、A,B⫅Vをそれぞれ一次独立な集合及び基底とします。
・Bf⫅Bで、 f:Bf→Aは単射
・Af:=f(Bf)⫅A, A'f:=A−Afとして、Bf∪A'fは一次独立
の条件を満たす写像f:Bf→Aの集合族 X={f}を考える。
また、半順序は、以下のように定めます :
def
f≦ψ ⇔ Bf⫅Bψ, f=ψ|Bf
この時、ツォルンの補題が適用することにより極大元σが存在する。
Aσ=σ(Bσ)⫋Aと仮定すると、元x∈A−Aσ=A'σが一つ取れる。
Bσ∪(A'σ−{x})の張る部分ベクトル空間をHとします。
その定め方からBσ∪A'σは一次独立であるから、x∉Hです。
一方でBは基底なので、
x=a1x1+⋯+anxn, ai∈K, xi∈Bと表せます。ここで
x∉Hだから、xi∉Hとなるxiがあるはず。
このとき、
τ:Bσ∪{xi}→Aを、τ|Bσ=σ、τ(xi)=xと定めると、
x∉Aσ=σ(Bσ)={σ(y)｜y∈Bσ}よりx≠σ(y)であり、これは単射。
さらに、xi∉Hだから
Bτ∪A'τ=Bσ∪(A'σ−{x})∪{xi}は一次独立です。
故に、τ∈Φ, σ<τとなる元が見つかり、極大性に矛盾します。
以上のことから、
σ(Bσ)=Aσ=Aなので全射であり、すなわち、この写像は全単射であることがわかりました。
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この12,3行目あたりにある「 Bσ∪A'σは一次独立であるから、x∉Hです。」というのが理解できておらずなぜx∉Hなのかわかる方いらっしゃいましたらご教授頂きたいです。
併せて、(同じ理由かと思うのですが)最後の行の「xi∉Hだから
Bτ∪A'τ=Bσ∪(A'σ−{x})∪{xi}は一次独立です。」についてなぜ一次独立になるのかご教授頂けますと幸いです。
投稿が初めてなもので不手際があったら申し訳ありません。
何卒宜しくお願い致します。
