多項式の近似式

質問

（1＋r）^N
　という式で,rが小さい時、近似式として以下の式で表される。
1＋rN＋1/2（rN）^2
これは72の法則を説明するのに必要ですが、なぜこの近似式になるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

774danger

あぁ、複利計算をするときの法則なのですね。

計算方法はNo.2のかたが丁寧に書かれていますので.......
現状日本の金利は1～2%ですから、上の式でr=0.01～0.02になり、1に比べれば小さい値になります。
r^2=0.0001～0.0004
r^3=0.000001～0.000008
とrをどんどんかけるとそれにつれて値が小さくなっていきますから、r^3以降を無視して近似式が成り立つ、ということになります。

回答No.2

jung_taro

回答申し上げます。

(1+r)^nを計算するには二項定理の知識が必要になります。
煩雑な式は割愛しますが、

(1+r)^n＝1+nr+n(n-1)r^2/2+n(n-1)(n-2)r^3/6+…

となります。

これの右辺を整理すると、
(1+r)^n＝1+nr+(nr)^2/2-nr^2/2+(nr)^3/6-nr^3/2+…
となり、

右辺の1+nr+(nr)^2/2-nr^2/2+(nr)^3/6-nr^3/2+…において
[1+nr+(nr)^2/2]+[-nr^2/2+(nr)^3/6-nr^3/2+…]
の二つの部分に分けたとき、右側は小さい値になるので、無視しても良いでしょうという意味で

(1+r)^n≒1+nr+(nr)^2/2　を導きます。

ただ、７２の法則を説明するならば、ちょっとこれだけでは不十分のような気がします。上記の式右側の[　]内が無視できるほど小さくないのです。

７２の法則はrかnかのどちらかがわかっているとき、
(1+r)^n＝２の方程式を解くのに適用されるわけですが、

(1+r)^n＝1+nr+(nr)^2/2とすると、
1+nr+(nr)^2/2＝２を解くことに等しいわけですから、
(nr)^2+2nr-3＝0　→ nr＝（√3)-1となり、
nr＝0.732…　となります。
これだと「７３の法則」になってしまいますね（笑）
そして、rは普通は％で表されますから、
ｎ×（ｒ％）＝73.2…になります。

これでｒ％がわかっているとき、７３をｎで割れば年数が出ますし
ｎ年がわかっているとき、７３をｒ％で割れば利率が出ます。

これを７２の法則としてみるならば、
・上記[-nr^2/2+(nr)^3/6-nr^3/2+…]の部分に誤差がある。
・筆算で簡単にするために72にした
と解釈すれば良いのかと思います。

ご参考になればと思います。

お礼

回答をいただきありがとうございました。
非常に解りやすい説明までいただき感激いたしました。
72の法則がよく理解できました。

回答No.1

774danger

> これは72の法則を説明するのに必要ですが、

72の法則ってなんですか?
というのは置いておくとして、

（1＋r）^N を単純に展開していって、rが小さいときはr^3以降の項が十分小さいとみなせばこの式が出ます。
r^3は十分小さくて、何でr^2は十分小さくないのか? と聞かれると微妙ですが、どこで切るかはそのとき次第かもしれません。