積が最大となるには…

質問

『ある自然数Nをｎ個の自然数a_nにわけ、そのｎ個の自然数の積Mをとるとき、すなわち、
a_1+a_2+…+a_n=N　、a_1*a_2*…*a_n=M としたとき、Mが最大になるにはa_1=a_2=…=a_n=N/n となる事が必要十分である』ということを予想したのですが、証明できません。誰か優しい方、お願いしますm(--)m
ちなみにそう思ったのはn=2,3の時にそうなった(コレは証明できた)からなだけなので、反証でもかまいません。高校数学の範囲でお願いします。

回答No.10

stomachman · ベストアンサー

No.4でkimkatさんは「たくさん動かす（３つ以上の変数を動かす）とどうなるかについては考慮されていません。」とおっしゃっているけれども、No.5, 7は（そして下記も）変数を二つしか動かさなくて、しかもきちんとした証明になっています。

　Nがnで割り切れる場合に限るなら、No.7も随分簡単にできます。（L(N)という集合を考えるまでもなく、積M(a)が最大になるようなaは一通りしかないからです。）簡単になった分、丁寧に説明してみましょう。

　N = mn, n≧2, m≧1であるとします。

　初めに、q[1]=N-n+1, q[1]以外の全部の要素が1である列q[i] (i=1,2,…,n)を考えれば、
S(q)=q[1]＋q[2]＋…＋q[n] = N
M(q)=q[1]×q[2]×…×q[n] = N-n+1＞0　（N≧nだから）
です。
　従って、ある列aが「S(a)=NであってM(a)が最大である（つまり、S(q)=Nであるどんな列qについてもM(a)≧M(q)である）」とすると、
M(a)≧M(q)＞0
つまり
M(a)＞0　…(1)
です。

　さて、
H: 「aはS(a)=NであってM(a)が最大であるような列であり、しかもa[j]＞m, a[k]＜mとなるj, kを持つ」
と仮定します。（S(a)=mn だから、a[j]＞mとなるjがあるのなら、a[k]＜mとなるkも少なくともひとつはあります。）

　するともちろんk≠jです。そして、
a[k]≧1, a[j]≧1　…(2)
（なぜならば、もしa[k]=0ならM(a)=0となり、(1)と矛盾するから。なお、a[j]≧1は仮定Hに含まれています。）
そして、
a[j]-a[k]＞1…(3)
が成り立っています。
　ここで
a'[j] = a[j]-1
a'[k] = a[k]+1
a'[i] = a[i] (iはk,j以外の全部）
という新しい列a'を作りましょう。すると、S(a')=Nであり、
M(a') /(a'[k] a'[j] ) = M(a) /(a[k] a[j] )
となります。（この式は、「列a'からa'[k]とa'[j]を除いた(n-2)個の要素の積と、列aからa[k]とa[j]を除いた(n-2)個の要素の積が同じだ」と言っているわけです。a'[i] = a[i] (iはk,j以外の全部）なのだから当たり前ですね。）
　分母を払って、a'[j]、a'[k]に上記の式を代入すると、
a[k] a[j] M(a') = (a[k]+1)(a[j]-1)M(a)
となります。右辺を展開し、さらに(a[k] a[j])を括り出して整理すると、
a[k] a[j] (M(a') - M(a)) = (a[j]-a[k]-1)M(a)
です。一方、aはM(a)が最大であるような列なのだから、
M(a')≦M(a)
つまり
M(a') - M(a)≦0
です。(2)よりa[k]a[j]＞0だから
a[k] a[j] (M(a') - M(a)) ≦0
なので、
(a[j]-a[k]-1)M(a)≦0
となります。ところが、(1)によりM(a)は正の値を持つので
a[j]-a[k]-1≦0
しかし、この不等式は(3)と矛盾しています。

　ゆえに、仮定Hは誤りであり、
Hの否定：「aが、S(a)=NであってM(a)が最大であるような列であるならば、全てのiについてa[i] = mである」
が証明されました。

　このような列aは(m, nを決めれば）ひとつだけ存在しますから、
「aが全てのiについてa[i] = mであるならば、M(a)が最大であるような列である」
は自明です。
Q.E.D.

回答No.11

jlglg

『ある自然数Nをｎ個の自然数a_nにわけ、そのｎ個の自然数の積Mをとるとき、すなわち、
a_1+a_2+…+a_n=N　、a_1*a_2*…*a_n=M としたとき、Mが最大になるにはa_1=a_2=…=a_n=N/n となる事が必要十分である』

ですが、自然数a_nといいながら、
a_1=a_2=…=a_n=N/n
つまり、
n|N (nはNの約数)
と書いてあるのが、不自然で、すんなり理解できません。ここらへんを補足要求します。

でも、stomachmanさんの回答は興味深いので、あとで読もうと思います。

この問題は次のようにするのが、一番興味深いと思われます。

与えられた自然数Nに対して、Nをいくつかの自然数に分割してから積をとる。
このとき、その積が最大となるのはどのように分割したときでしょうか？

たとえば、
１３＝２＋２＋２＋２＋２＋３
のとき積は、９６

１３＝３＋３＋３＋４
のとき積は、１０８（これが最大っぽい）

１３＝４＋４＋５
のとき積は、８０

新しく数学カテに投稿しました。↓

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2355737

回答No.9

kimkat

>a_kを動かすとなる時、a_k=x　とおいても、a_1=a_2=…=a_(k-1)=x とおいてもどうもうまくいかないのですが…申し訳ありません…（涙）

「～とおく」の意味がよくわかりませんが、以下順序だててヒントです。
まず、No.8にあるようにすべて実数値だと思ってください。

まずa_kを固定して考えると、
・a_1+...+a_{k-1}=N-a_kのもとで、a_1*...*a_kを最大化せよ
という問題になりますね。ここでa_kを固定しているので、これは定数と思って、残りのk-1個が動いたときの最大値とそれを実現するa_1,...,a_{k-1}はなんでしょう？
→帰納法の仮定からわかりますね

その最大値はa_kの式として表せると思うので、今度はa_kを動かしてその最大値を最大化するa_kはなんでしょう？
→合成関数の微分がわかっていると解けるはずです

回答No.8

kimkat

Nがnで割り切れるときは、もっと簡単に証明できます。

a_iが実数値をとると思って最大値を計算すると、a_iがすべて整数のときに最大であることがわかります。なので、整数に限定しても同じ値で最大がわかります。

あとは、No.2の私の書き込みがヒントです。

回答No.7

stomachman

帰納法を使わない証明ができたんで、またまたupします。記号はNo.5と同じです。

補助定理1: N≧n, n≧2であるとき、
a∈L(N)→ ∀i(a[i]≧1）
である。
（証明は省略します。）

補助定理2: N≧n, n≧2であるとき、
a∈L(N)→ M(a)＞0
（証明は省略します。）

定理Q(N):
N≧n, n≧2であるとき、
a∈L(N) ⇔ (S(a)=N ∧ ∀j(m+1≧a[j]≧m))
である。
（ただし、m = floor(N/n),　r = N - mnとする。）

証明
(→向きの証明）
H1: 「a∈L(N)であり、あるk(1≦k≦n)についてm＞a[k]であるようなaが存在する」
と仮定する。
すると、補助定理1により、
m＞a[k]≧1
である。（　m=1のときは、m＞1となって矛盾するので、H1は偽である。）
また、a∈L(N)なのだからS(a)=Nであり、従って、
a[j]≧m+1
であるようなjが少なくともひとつ存在する。さらに、
a[j]＞a[k]+1
である。

H2: 「a∈L(N)であり、あるj(1≦j≦n)についてa[j]＞m+1であるようなaが存在する」
と仮定する。
すると、a∈L(N)なのだからS(a)=Nであり、従って、
m≧a[k]
であるようなkが少なくともひとつ存在するが、補助定理1により、
m≧a[k]≧1
である。さらに
a[j]＞a[k]+1
である。

H1, H2のどちらを仮定しても、
a'[k] = a[k]+1
a'[j] = a[j]-1
a'[i] = a[i] (iがjでもkでもないとき）
によって新しい列a'∈Aを作ると、
∀i(a'[i]≧1)
であり、また、
S(a')=N
M(a') = M(a) (a[k]+1)(a[j]-1)/(a[k]a[j])
である。ここで、
(a[k]+1)(a[j]-1)/(a[k]a[j])
= 1+(a[j]-a[k]-1)/(a[k]a[j])
だから、
M(a') - M(a) = M(a)(a[j]-a[k]-1)/(a[k]a[j])
である。
ところが
a[j]＞a[k]+1, a[k]≧1, a[j]≧1、
であるから、
a[j]-a[k]-1＞0、a[k]a[j]＞0
さらに補助定理2によってM(a)＞0であるから、
M(a)(a[j]-a[k]-1)/(a[k]a[j]）＞0
従って、
M(a') - M(a)＞0
である。これはa∈L(N)ではないことを意味するので、仮定H1とも仮定H2とも（どちらもa∈L(N)と仮定したのだから）矛盾する。従って、H1, H2はどちらも偽である。
以上から、
H1の否定：「a∈L(N)であるならば、すべてのk(1≦k≦n)についてa[k]≧mである」
H2の否定：「a∈L(N)であるならば、すべてのk(1≦k≦n)についてm+1≧a[k]である」
が証明できた。すなわち
Q(N):「a∈L(N) → S(a)=N ∧ ∀k(m+1≧a[k]≧m)」
が証明できた。

（←向きの証明）
a∈Aが
S(a)=N ∧ ∀k(m+1≧a[k]≧m)
であるならば、
M(a) = ((m+1)^r)(m^(n-r))
である。
一方、b∈L(N) であるとすると、
b∈L(N) → S(b)=N ∧ ∀k(m+1≧b[k]≧m)
であるから、
M(b) = ((m+1)^r)(m^(n-r))
である。
従って、
S(a)=N ∧ ∀k(m+1≧a[k]≧m)
を満たす任意の列aは
a∈L(N)
である。
Q.E.D.

回答No.6

stomachman

あちゃ、変な部分が残ってました。No.5の(2)の中の、

> m+1≧g[j]≧m　（j=1,2,…,n）
> です。

ってところ、削除です。

回答No.5

stomachman

やることは実に単純なんだけれども、書くとなるとずいぶん長くなっちゃいます。

自然数を{0,1,2,…}としましょう。
●　n個の自然数の列<a[1], a[2], …, a[n]>の集合をAとします。
●　a∈Aについて
S(a) = a[1]＋a[2]＋ … ＋a[n]
M(a) = a[1]×a[2]× … ×a[n]
と書くことにします。
●　「S(a)=NとなるaのうちでM(a)が最大であるようなaの集合」をL(N)と書く事にします。つまり、
a∈L(N) ⇔ (S(a)=N ∧ ∀b（(b∈A ∧ S(b)=N) → M(a)≧M(b))
ってことです。
L(N)≠φ
は自明です。

　ところで、n=1の場合には「分ける」ったって分けようがありません。また、N＜n のときは、S(a)=NならばM(a)=0。aの作り方と関係ありません。だからN≧n, n≧2のときだけが問題になります。

[1] 補題1:
N = mn + r (m≧1, n＞r≧0, n≧2)　のとき、a∈L(N) → (S(a)=N ∧ ∀j(a[j]≧1） ∧ M(a)＞0)
なぜなら、
S(b)=NかつM(b)≧1となるbが存在する。（∵N≧nなので、全てのjについてb[j]≧1となるようにbを選べるから。）従って、a∈L(N) とすると、M(a)≧M(b)＞0である。
　一方もしa[j]=0となるjがひとつでもあればM(a)=0になってしまう。だから∀j(a[j]≧1）。

[2] さて、証明したいのは、次の命題です：
Q(N): 　N = mn + r (m≧1, n＞r≧0)　のとき、
a∈L(N) ⇔ (S(a)=N ∧ ∀j(m+1≧a[j]≧m))
である。

これをN≧n（n≧2）について、Nに関する帰納法で証明します。

(1)N=n（n≧2）のとき。
m=1, r=0です。
明らかに
a∈L(N) ⇔ S(a)=N ∧ ∀j(a[j]=1)
であるから、Q(n)は真です。

(2) N＞n（n≧2）のとき
N = mn + r (m≧1, n＞r≧0)です。

　命題Q(N-1)が真であると仮定します。
　L(N-1)の要素を一つ選んでg（g∈L(N-1)）とします。すると命題Q(N-1)によりS(g)=N-1であって、しかも
m+1≧g[j]≧m　（j=1,2,…,n）
です。つまりg[1], g[2], …, g[n]のうち、
（イ） n＞r＞0の場合（N≧mn+1)には、r-1個がm+1、n-r+1個がm、
（ロ） r=0の場合（N=mn)には、n-1個がm、1個がm-1
になっています。
　ところでn≧2なので、（イ）（ロ）のどちらであってもg[i]=mであるようなiが存在します。そこで、
h[i] = m+1 (=g[i]+1)
h[j] = g[j] (j≠i)
である列hを作ることができ、このhは
S(h) = N
M(h) = M(g)(m+1)/m
を満たします。

　さて、aをL(N) の任意の要素（a∈L(N))とします。

(2-1) a∈L(N) → (S(a)=N ∧∀j(m+1≧a[j]≧m)) を証明します。
(2-1-1) a∈L(N) → S(a)=N
これはL(N)の定義から明らかです。

(2-1-2) a∈L(N) → ∀j(m+1≧a[j])　を証明します。
　任意のk∈{1,2,…,n}について、（補題1によりa[k]≧1なので）
b[k] = a[k]-1
b[j] = a[j] (j≠k)
である列bを作ると、
S(b) = N-1
M(b) = M(a)b[k]/a[k]
となります。

　ところでM(g)≧M(b)（∵M(g)∈L(N-1))だから
M(g)≧M(a)b[k]/a[k]
すなわち
M(g)≧M(a)(a[k]-1)/a[k]
が成り立っています。

　また、M(a)≧M(h) （∵M(a)∈L(N))だから
M(a)≧M(g)(m+1)/m
が成り立っています。つまり
M(g)≧M(g)((m+1)(a[k]-1)/(a[k] m)
です。補題1によりM(g)＞0, a[k]＞0、そしてm＞0であることを使って移項して整理すれば
m+1≧a[k]
つまり∀k∈{1,2,…,n}についてm+1≧a[k]であることが証明できました。

(2-1-3) a∈L(N) → ∀j(a[j]≧m))を背理法で証明します。
a[u]＜m
であるようなu∈{1,2,…,n}が存在したと仮定します。すると
S(a)≧mn
であるから、少なくともひとつ
a[v]＞m
であるようなv∈{1,2,…,n}が存在しなくてはなりませんが、∀k(m+1≧a[k])なのだから、
a[v] = m+1
です。
そこで、
c[u] = a[u]+1
c[v] = a[v]-1 （= m）
c[j] = a[j] (jがu,v以外のとき）
によって新しい列cを作ると、
S(c)=N
M(c) = M(a)m(a[u]+1)/(a[u](m+1))
です。また、a∈L(N)だから
M(a)≧M(c)
従って、
1≧m(a[u]+1)/(a[u](m+1))
でなくてはなりません。整理すると
a[u]≧m
となって、これは仮定（a[u]＜m）と矛盾します。
　だから、仮定は誤りである。つまり、∀j∈{1,2,…,n}について(a[j]≧m)が証明されました。

　以上で、
a∈L(N) → S(a)=N ∧∀j(m+1≧a[j]≧m)
が証明できました。

(2-2) (S(a)=N ∧∀j(m+1≧a[j]≧m))→ a∈L(N) を証明します。
　これは簡単です。
S(a)=N ∧∀j(m+1≧a[j]≧m)
のとき、N=mn+rであるから、a[1],a[2],…,a[n]のうちr個がm+1、残りがmです。従って、
(S(a)=N ∧∀j(m+1≧a[j]≧m)) → M(a)=((m+1)^r)(m^(n-r))
です。一方
a∈L(N) → S(a)=N ∧∀j(m+1≧a[j]≧m)
であるから
a∈L(N) → M(a)=((m+1)^r)(m^(n-r))
です。このM(a)をL(N)の定義に代入すれば
∀b(S(b)=N → M(b)≦((m+1)^r)(m^(n-r)))
であるから、
(S(a)=N ∧ M(a)=((m+1)^r)(m^(n-r))) → a∈L(N)
よって
(S(a)=N ∧∀j(m+1≧a[j]≧m)) → a∈L(N)
です。
(2-1)(2-2)によって、Q(N-1)→Q(N) が証明できました。

(3)かくて帰納法により、N≧nであるような全ての自然数Nについて命題Q(N)が証明できたことになります。
Q.E.D.

回答No.4

kimkat

No.3の回答は、説明としてわかりやすいとは思いますが、厳密な意味での「証明」にはなってませんね。

なぜなら、a_1=a_2=…=a_n=N/nの状態からちょっとだけ動かす（２つの変数だけ動かす）とMは必ず小さくなるということをいっているにすぎません。

でもたくさん動かす（３つ以上の変数を動かす）とどうなるかについては考慮されていません。

あと、先ほどの回答で言い忘れましたが、
>Mが最大になるにはa_1=a_2=…=a_n=N/n となる事が必要十分である
とあるので、当然Nがnで割り切れるものとして説明しています。

回答No.3

BLUEPIXY

仮にｘという数で ｎ個に分けることができたとすると
x + x + … + x + x = N
x * x * … * x * x = M
この中の１つのx を(x+d)としたとすると、
全体のＮは、変わらないのでもう１つのx が(x-d)になる。
その時のＭは、
(変わらない部分)(x+d)(x-d)となって
x^2 から x^2 - d^2 になって変化分の２乗だけ全体から減ることになる。
つまり、「ｘという数で ｎ個に分けることができた」状態を変化させることは、Ｍを減少させるので、元のＭが最大。

回答No.2

kimkat

数学的帰納法です。
1) まずa_nを固定してほかを動かしたときにいつ最大になるかを考えます（ここで帰納法の仮定を使う）
2) 次にa_nを動かしたときにいつ最大になるかを考えます

補足

早速のお返事ありがとうございます。
a_1=a_2=…=a_(k-1）までは仮定から成り立たせて、
a_kを動かすとなる時、a_k=x　とおいても、a_1=a_2=…=a_(k-1)=x とおいてもどうもうまくいかないのですが…申し訳ありません…（涙）

回答No.1

nabla

「与えられた実数Aをn個の正の実数anにわけその積が最大になるのはn等分したとき」ならば簡単に証明できますが、自然数の範囲でやろうと思うとN/nが自然数とは限らないので、なかなか難しいですね。
上の命題なら証明は相加平均と相乗平均の関係を使えば簡単です。