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平面波の波動方程式と無損失伝送線路の式は似ているらしいのですがどういう点が似ているのですか。

波について研究しているのですが、ガウス関数や、波動方程式 がよく分からないので、簡単に教えてください。

波動方程式を学んでいて、 『波動方程式の一般解を　ψ(x)=Ae^kx+Be^(-kx)　として長さaの1次元の箱の中にある電子の波動関数を　1/2i・(e^ix-e^(-ix))=sinx　を用いて求めよ』 という問題があって自分は違う方法で波動方程式の一般解は　 ψ(x)=Csin(nπx/a) という結論に達したんですが、 ここで　ψ(x)=Ae^kx+Be^(-kx)　に　 1/2i・(e^ix-e^(-ix))=sinx　を適用すると　ψ(x)=Csin(nπx/a)　になるんでしょうか。もしもそうなのであれば示し方を教えてください。 ちなみにA,B、Cは何れも定数です。 よろしくお願いします。

よろしくお願いします。 １、正方形領域 0≦x≦π、0≦y≦πにおいてu(x,y,t)に関する以下の拡散方程式の初期値・境界値問題を考える。 u_t＝u_xx＋u_yy …(1) u(x,0,t)＝u(x,π,t)＝u(0,y,t)＝u(π,y,t)＝0 …(2) u(x,y,0)＝x(π－x)y(π－y) …(3) (1)m,nが自然数のとき、f_(m,n)(t)sin(mx)sin(ny)が(1)を満足する特解であるとする。（f_(m,n)：添え字） f_(m,n)(t)を求めよ。ただしf_(m,n)(0)＝1とする。 (2)(1)、(2)、(3)を満足する解をu(x,y,t)＝Σ(∞、m,n＝1)a_(m,n)f_(m,n)(t)sin(mx)sin(my)とする。 a_(m,n)を求めよ。 ２、同じ方法を用いて、正方形領域 0≦x≦π、0≦y≦πにおける以下の波動方程式の初期値・境界値問題の解u(x,y,t)を求めよ。 u_tt＝u_xx＋u_yy …(4) u(x,0,t)＝u(x,π,t)＝u(0,y,t)＝u(π,y,t)＝0 …(5) u(x,y,0)＝x(π－x)y(π－y)、u_t(x,y,0)＝0 …(6)

Schrödingerが書いた波動方程式の論文が欲しいのですが、 雑誌名や巻号やページ数など教えていただけないでしょうか？

両端を固定した弦の微小振動を表す波動方程式 u_tt(t,x) = c^2u_xx(t,x) (c は波の伝播速度) に記憶効果を考慮すると右辺に\int_0^t a(t-s)u_xx(s,x)dsのような積分項が加わるらしいのですが, そもそも, 弦の振動の記憶効果とはどのような物理現象なのでしょうか? (過去の影響を表すようだが...) またそれを数式で表現したものが積分項になる理由を教えてください. このようなことが書かれている文献(和・洋を問わず) でも構いません.

古典的波動力学なんてメジャーな分類にならないかもしれませんが、その構成を考える上で悩んでいます。 高校物理の範囲で考えると、波動の基本原理は ホイヘンスの原理ですが、 やはり、波動方程式から導くのが正当だと思います。 そこで、まずホイヘンスの原理を数学的に記述するとどう表記できるか？ 波動方程式からいかに導けるかを教えて下さい。

波動方程式(ρ*∂^2u/∂t^2=T*∂u^2/∂x^2)を差分法で、境界条件をx=0とx=Lで自由条件（T*∂u/∂x=0)とした場合を考えています。 上の波動方程式を差分化すると、 (u[n+1][j]-2*u[n][j]+u[n-1][j])/(dt^2)=(u[n][j+1]-2*u[n][j]+u[n][j-1])/(dx^2) の形になると思います。（T/ρ=1.0とし、nは時間、jは距離の格子点として考えています） 初期条件は適当な形状を与えます。 両端を固定条件（u[n][0]=0,u[n][xp]=0,）とした場合はうまく解を得ることが出来ました。（xpはx=Lでの格子点） 問題は自由条件（T*∂u/∂x=0)すなわち、 T*(u[n][1]-u[n][0])/dx=0、T*(u[n][xp+1]-u[n][xp])/dx=0 となる場合、これをどのように使用したらよいのでしょうか？ または根本的に考え方が間違っているのでしょうか？ 本当に困ってます。よろしくお願いいたします。 内容が不十分の場合は補足要求お願いします。

波動方程式と分散関係に関する証明です： 波動方程式 △A = 1/c^2 ・∂^2A/∂t^2 ...... (1) A = A0・e^(ikr - iwt) ...... (2) (2)を(1)に代入すると、 どうやってω = ck を証明するのでしょうか。 ご回答よろしくお願い致します。

φ(x,t)=kQ(t')/r t'=t-r/c c=|x-x| (xはベクトルです) これが3次元波動方程式を満たすことを証明問題せよ、という問題です。 よろしくお願いいたします。

2次元空間における波動方程式の導出の手順なんですけど、膜を考えるのではなく、2次元の弾性体をモデルとして導出することはできないのでしょうか？ 1次元の波動方程式を導出する時は1次元の弾性体をモデルとしたものがあったので気になりました。

量子力学のシュレティンガー方程式や流体力学の波動方程式などでは 波を記述する方程式として当たり前のように二階微分の式が現れますが、 波を記述するためにこのような式で表されるというのに、導出や証明はあるのでしょうか？ いくつか書籍を見てみたのですが、当たり前のように出てきていて、なぜこのような式で表されるのかについて言及してある本が見つかりませんでした。 どなたか解説してある書籍などありましたら教えて下さい。

波動方程式の計算に出てくる、偏微分方程式の解の計算方法が分かりません。 本から引用します： ここで、弦を伝わる波の問題などで使われる波動方程式 { (∂^2) u(x,t) } / (∂t^2) - c^2 * { (∂^2) u(x,t) } / (∂x^2) = 0 (式7.33) を考えてみよう。ここで、u(x,t)は座標xの位置での時刻tにおける弦の変位を表わし、cは正の定数とする。そして、∞に長い弦を考え（すなわち、-∞<x<∞の範囲で考え）、境界条件は、すべての t>=0 に対して u(x,t)→0 (式7.34) (x→±∞) を満たすとする。つまり、無限遠では波が存在しないとする。更に初期条件は u(x,0) = f(x) { ∂u(x,t) } / ∂t |t=0 = 0 (式7.35) とし、ここでf(x)は x→±∞ で0に近付く絶対可積分な関数であるとする。また、上式の縦棒(|)の後のt=0は、「t=0での偏微分の値」という意味である。(式7.35)のように初期条件として2つの式を与えるのは、(式7.33)がtについて2階の微分方程式だからである。今の場合、xの無限領域での関数u(x,t)を取り扱うので、フーリエ変換を使った解法を用いればよい。 例題 初期条件(式7.35)と境界条件(式7.34)を満たす(式7.33)の解を求めよ。 [解] u(x,t)のxについてのフーリエ変換を F(k,t) = ∫[-∞,∞] u(x,t) e^(-ikx) dx (式7.36) と表す。(式7.33)にe^(-ikx)を掛け、xについて-∞から∞まで積分すると、熱伝導方程式(式7.20)を導いたときと同様な考え方から、 { (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) + (c^2) * (k^2) * F(k,t) = 0 (式7.37) ←質問箇所 を得る。この微分方程式の解は、 F(k,t) = C[1](k) e^(ickt) + C[2](k) e^(-ickt) (式7.38) ←これをどう導いたのかが不明 であることが、代入すれば確かめられる。ここで、C[1](k)、C[2](k)は任意のkの関数で ある。 ・・・以上、引用終わり。 私は偏微分方程式自体、変数分離とかいう方法でサラッとやっただけで、上記の方法は見たことがありません。ネットで検索しましたが、同様の式を見つけることが出来ませんでした。そんな私が敢えて解こうとすると： { (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) + (c^2) * (k^2) * F(k,t) = 0 第2項を右辺に移項する { (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) = - (c^2) * (k^2) * F(k,t) 左辺の(∂t^2)と右辺のF(k,t)を交換する { (∂^2)F(k,t) } / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * (∂t^2) 両辺をtで積分する（もう既に未知の領域…きっと2乗が減って1乗になるのでしょう…） ln{F(k,t)} * {∂F(k,t)} / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * ∫(1)(∂t^2) ln{F(k,t)} * {∂F(k,t)} / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * t (∂t) + C[1](k) もう一度両辺をtで積分するだろう雰囲気を漂わせたところでやめておきます。 もしかしたらln{F(k,t)}を積分しなければならないのでは、と思ったら思考が停止しました。多分、既に間違っているのでしょう。 …ということで、この偏微分方程式の解き方を教えて下さい。お願いします。

ここでの記述の定義 ●ラプラシアン∇^2＝△ ●ベクトル↑ 円筒座標系では △＝∂^2/∂r^2＋(1/r)∂/∂r＋(1/r^2)∂^2/∂θ^2＋∂^2/∂z^2 電界E↑＝E_re_r↑＋E_θe_θ↑+E_ze_z↑とすると波動方程式(ヘルムホルツの方程式)は △E＋k^2E＝{△E_r－(2/r^2)∂E_θ/∂θ－E_r/r^2＋k^2E_r}e_r↑＋{△E_θ＋(2/r^2)∂E_r/∂θ－E_θ/r^2＋k^2E_θ}e_θ↑+{△E_z＋k^2E_z}e_z↑＝0 となるようですが，単純に △E＋k^2E＝{△E_r＋k^2E_r}e_r↑＋{△E_θ＋k^2E_θ}e_θ↑+{△E_z＋k^2E_z}e_z↑＝0 というようにならないのは何故でしょうか？ご教授よろしくお願いします．

化学系で、あまり数学ができないので、得意な方に質問させていただきます。 シュレーディンガーの波動方程式で運動エネルギーの演算子の一部分 　　　∂＾２ψ／∂ｘ＾２＋∂＾２ψ／∂ｙ＾２＋∂＾２ψ／∂ｚ＾２ がありますよね。（ψ：固有関数）↑固有関数ψをｘ、ｙ、ｚについて２階偏微分したものの和 それを極座標ｘ＝ｒｓｉｎθｃｏｓφ、ｙ＝ｒｓｉｎθｓｉｎφ、ｚ＝ｒｃｏｓθ（←今教科書を持ってないので間違っているかもしれませんが、多分こんな感じ）で変換したいんですけど、ｘとｙにはθとφについて２つ偏微分が書けるので、高校レベルの数学の知識しか持ってない私には変換ができません。 ｄψ／ｄｘ＝ｄψ／ｄｔ×ｄｔ／ｄｘぐらいが分かるレベルなので簡単に教えてくれればうれしいです。 皆さんよろしくお願いします。

まずu(x,t)の1次元波動方程式{((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*{((∂^2)u)/(∂x^2)}について ここでもし、u(x,y)がxの関数X(x),Tの関数T(t)の積u(x,y)=X(x)*T(t)で表すことができればこの微分方程式を解くことができる。 まずu(x,y)=X(x)*T(t)を代入すると、 {((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*{((∂^2)u)/(∂x^2)}はX*(T'')=(v^2)*(X'')*Tとなり、 これを(v^2)*X*Tで割ると{T''/(v^2)*T}=(X''/X)となる。 この式の左辺はTのみの式、右辺はXのみの式なのでこの式が任意のx,tで成り立つためには{T''/(v^2)*T}=(X''/X)=定数Aとならなければならない。そしてこの定数AについてA<0が成り立つ。 次にu(x,y,t)の2次元波動方程式 {((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*[{((∂^2)u)/(∂x^2)} + {((∂^2)u)/(∂x^2)}]についても同様にu(x,y,t)がxの関数X(x),Yの関数Y(y),Tの関数T(t)の積X(x)*Y(y)*T(t)で表すことができればこの微分方程式を解くことができる。 u(x,y,t)=X(x)*Y(y)*T(t)を上の2次元波動方程式に代入すると、 X*Y*T''=(v^2)*[{(X'')*Y*T}+{X*Y*(T'')}]となり、 この両辺を(v^2)*X*Y*Tで割ると、{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}となる。 この式の左辺はtのみ、右辺はxとyの式なので、この式が恒等的に成り立つためには{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}=定数Aとなる必要がある。そしてA<0でなければならない。 ※以上が変数分離法による1次・2次波動方程式を解く手順ですが、まず1次について「{T''/(v^2)*T}=(X''/X)の左辺はTのみの式、右辺はXのみの式なのでこの式が任意のx,tで成り立つためには{T''/(v^2)*T}=(X''/X)=定数Aとならなければならない」というのは一体どういう意味なのでしょうか？ もし左辺がXのみの式でなかったら、例えばXとYの式だったら=定数Aとはおけないのでしょうか？ 同じく2次の場合についても、「{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}の左辺はtのみ、右辺はxとyの式なので、この式が恒等的に成り立つためには{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}=定数Aとならなければならない」とありますが、これもどういう意味なのでしょうか？　詳しいかた教えてください。お願いします。

波動方程式のグリーン関数とフーリエ変換について。 非同次波動方程式のグリーン関数を求める過程で次のようなFourier積分, [∞,-∞]dω e^(-iωt)/(ω^2-(ck)^2) を求めるのですが特異点ω=±ckの対処の仕方について疑問があります。 １.そもそもこの積分は定義されるのか。いわゆる主値積分と考えていいのか。 ２.参考書には特異点まわりに半径ｒの小半円をとってｒ→０の極限をとる方法と、 　特異点に微小量ｉεを加えて特異点をずらす方法がのっています。これらは同じことを 　意味するのでしょうか。 ３．経路をずらすやり方だと４種類考えられると思うのですがすべて同じ結果になりました。いずれも 　小半円の寄与が残ってしまい、特異点をずらす方法の答え（こちらのほうは因果律を見たす解が得ら 　れました）と一致しません。これは何を意味するのでしょうか。 長々と質問しましたが、よろしくお願いします。

　明けまして、おめでとうございます。 本年もよろしくお願いします。 さて、早速ですが、下記につきまして教えてください。 Schrodinger方程式では、下記のようなポテンシャル障壁があると V=0, x<0 V=V0, x>0 各領域において方程式は、 -hbar^2/2m d^2φ1/dx^2= E φ1 -hbar^2/2m d^2φ2/dx^2 + V0φ2 = E φ2 となり、境界条件は φ1(x=0)= φ2(x=0) x=0において、　dφ1/dx= dφ2/dx となって、波動関数は、E<V0の領域で φ1= c1 Exp(iax)+c1((ia-b)/(b+ia))Exp(-iax) φ2= c1((2ia)/(b+ia))Exp(-bx) となると、ほとんどの教科書には、記載されておりますが、Dirac方程式については、 一次元ポテンシャル障壁中の波動関数がどのようになるのか？見たことがありません。 たぶん、Schrodinger方程式と同じようになると思われますが、導出方法をご教示 願います。

波動方程式の解のうち２次式が省かれるのはなぜでしょう。 変数分離法で解けるのはわかるのです。けれど、 時間tと位置xの波動方程式 ∂^2 f /∂ t^2 = - a ∂^2 f /∂x^2 だとして、 f(x,t)=x^2 - a t^2 のような解も成り立つはずですが、これに触れている教科書等を 見たことがありません。三角関数の和の話ばかりです。 なぜでしょう？ 「波動」にならないから、といった、答えの対象を波動に限定しているからでしょうか？ しかし、数学の問題だとすると、 境界条件さえ満たせばこれも解だと思うのです。 何か単純な勘違いをしているのでしょうか？

(1)　　(∂f/∂t)=-c*(∂f/∂x) 　右進行波に対応 (2) 　(∂f/∂t)=c*(∂f/∂x) 　左進行波に対応 について(1),(または(2))から(∂^2*f/∂*t^2)についての方程式の導け という問題がわかりません。 わかる方おしえて下さい。よろしくお願いします。