電界についての波動方程式～円筒座標系～

質問

ここでの記述の定義
●ラプラシアン∇^2＝△
●ベクトル↑

円筒座標系では
△＝∂^2/∂r^2＋(1/r)∂/∂r＋(1/r^2)∂^2/∂θ^2＋∂^2/∂z^2

電界E↑＝E_re_r↑＋E_θe_θ↑+E_ze_z↑とすると波動方程式(ヘルムホルツの方程式)は
△E＋k^2E＝{△E_r－(2/r^2)∂E_θ/∂θ－E_r/r^2＋k^2E_r}e_r↑＋{△E_θ＋(2/r^2)∂E_r/∂θ－E_θ/r^2＋k^2E_θ}e_θ↑+{△E_z＋k^2E_z}e_z↑＝0
となるようですが，単純に
△E＋k^2E＝{△E_r＋k^2E_r}e_r↑＋{△E_θ＋k^2E_θ}e_θ↑+{△E_z＋k^2E_z}e_z↑＝0
というようにならないのは何故でしょうか？ご教授よろしくお願いします．

回答No.1

Teleskope · ベストアンサー

極座標や円筒座標はθが変わると基底ｅrも向きが変わりますね。つまり ∂(基底)/∂θ はゼロとは限らない。
(1)　ｅｒ　=　cosθex＋sinθey
(2)　ｅθ= -sinθex＋cosθey
(3)　ｅｚ　=　ez
例えば
　　∂(1)/∂θ = (2)
　　∂(2)/∂θ = -(1)
　　∂(3)/∂θ = 0

　おまけ；

>>　円筒座標系では
　　△＝∂^2/∂r^2＋(1/r)∂/∂r＋(1/r^2)∂^2/∂θ^2＋∂^2/∂z^2
<<

　　は、よって下記のようにも書けることになります。

　　　　1　∂　　∂　　　　１　　∂^2　　　　∂^2
　　＝─ ・─ （r ─） ＋ ─ ・ ─── ＋───
　　　　r　∂r　　∂r　　　r^2　∂θ^2　　∂z^2

お礼

回答ありがとうございます．
いつもお世話になりますm(__)m
なるほどです．もしや△＝∂^2/∂r^2＋(1/r)∂/∂r＋(1/r^2)∂^2/∂θ^2＋∂^2/∂z^2
とばらばらで一つ一つ作用させて出てきたものを最後に一まとめにするという計算方法ですか？それなら地道に力ずくでやればできそうですが，
次の公式でE_ie_i(i=r, θ, z)を楽に計算しようと思ったのですがやっていいのか少し不安です．
△(fg)＝f△g＋g△f＋2(∇f)・(∇g)
という公式がありますが，gをベクトルとみなしたとき形式的には
△(fg↑)=f△g↑＋g↑△f＋2(∇f)・(∇g↑)
となりますが，
∇g↑がちょっと怪しい感じがします．
∇を作用できるのはスカラーなので，ベクトルを作用させるのはいけないと思います．
でも，スカラーの場合と同じように考えてみれば
(∇f)・(∇g↑)
＝(∂f/∂x)(∂g↑/∂x)＋(∂f/∂y)(∂g↑/∂y)+(∂f/∂z)(∂g↑/∂z)
＝{cosθ(∂f/∂r)－(sinθ/r)(∂f/∂θ)}(∂g↑/∂x)＋{sinθ(∂f/∂r)＋(cosθ/r)(∂f/∂θ)}(∂g↑/∂y)+(∂f/∂z)(∂g↑/∂z)

と考えればいいと思うのですが．∇g↑という表記はダメですよね？
何か他にもっとよい方法がありましたらご指摘お願いします．

補足

Teleskopeさんのおっしゃられた
　　∂(1)/∂θ = (2)
　　∂(2)/∂θ = -(1)
　　∂(3)/∂θ = 0
と自分で追加した
　　∂(1)/∂r = 0
　　∂(2)/∂r = 0
と
　　∂(1)/∂z = 0
　　∂(2)/∂z = 0
と（これは成り立ちますよね？？）
△(fg)＝f△g＋g△f＋2(∇f)・(∇g)
＝f△g＋g△f＋2{(∂f/∂x)(∂g/∂x)＋(∂f/∂y)(∂g/∂y)+(∂f/∂z)(∂g/∂z)}
においてgをg↑に置き換えたものを用いたら導く事ができました．
∇g↑というのはやはりおかしいと思うので，
△(fg)＝f△g＋g△f＋2(∇f)・(∇g)
ではなく
＝f△g＋g△f＋2{(∂f/∂x)(∂g/∂x)＋(∂f/∂y)(∂g/∂y)+(∂f/∂z)(∂g/∂z)}
としておいてからgをg↑と置き換えるのはやってもいいですよね（たぶん）？？？
補足回答よろしくお願いします．