浮動小数点表示の情報落ちについて

質問

浮動小数点表示の仮数部が23ビットである
コンピュータで計算した場合、情報落ちが発生する
計算式は、どれか。ここで、()2内の数は2進法で表示されている。

正解
「(1.01)2×2^18+(1.01)2×2^-5」

指数部の差が大きい方が情報落ちするのは分かるのですが、
仮数部の23ビットで表現した場合、なぜ指数部を18に揃えるのですか。
計算をし易くする為ですか。理由を教えて下さい。

　1.0100000000000000000000　　 ×2^18
+0.0000000000000000000000101 ×2^18 ← (1.01)2×2^-5
=1.0100000000000000000000　　　×2^18
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　101が情報落ちしている。

あと、「(1.01)2×2^-5」が
「0.0000000000000000000000101」になる意味も分かりません。
出来ましたら、こちらも理由を教えて下さい。

ご丁寧に解説して頂ける方おられましたら、ご教授お願いします。

以上、よろしくお願い致します。

回答No.5

okormazd · ベストアンサー

#2です。
はじめに、#2の回答で、「情報落ち」の話をしていなかったので、補足します。以下の該当部分を読み取って訂正してください。

こんなに大きな桁数をそのまま計算できない計算機だとすれば、たとえば４桁しかメモリ割り当てがないとすれば、、
1230*10^5+123=
の計算をすることになりますね。この足し算でどことどこを足せばいいのでしょうか。1230+123=1353はだめなことは明らかですね。
1230*10^5+0.00123*10^5=
として、指数をそろえれば、1230+0.00123=1230.00123と計算できて、
1230*10^5+=1230.00123*10^5
でいいでしょう。でも、４桁しかメモリ割り当てがないとすれば、123=0.00123*10^5の変換の時点で、0*10^5になって、「情報落ち」してしまいます。これは、1.230*10^8+0.00000123*10^8としても同じことで、0.00000123*10^8への変換の時点で、0.000*10^8になって、、「情報落ち」します。
これは、追加の質問にも関連しています。
指数をそろえないと、足し算できない。

追加の質問について、

指数を2^18にそろえるために、
(1.01)2×2^(-5)=x*2^18
としたxです。
x=(1.01)2*2(-23)

指数計算の法則は知っているのでしょうね。
a^m/a^n=a^(m-n)
です。これを使っているだけなのですが。

指数を2^18にそろえるために、
(1.01)2×2^(-5)=x*2^18
とすると、xは、
x=(1.01)2*2^(-5)/2^18=(1.01)2*2^(-5-18)=(1.01)2*2^(-23)=(0.0000000000000000000000101)2
ですよ。

この質問/回答はこれで終わりです。さらに疑問があるなら、改めて質問してください。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ご丁寧に説明して頂いたので解釈することが出来ました。

当方、指数計算の法則を知りませんでした。
x=(1.01)2*2^(-5)/2^18=(1.01)2*2^(-23)になるんですね。
指数計算について勉強したいと思います。

以上、ありがとうございました。

回答No.4

Tacosan

「(1.01)2×2^-5の指数を-23に変えたから
(1.01)2*2^-23=0.0000000000000000000000101なんですね。」
というのは, 完全に誤解しています.「指数を -5 から -23 に変えた」のではありません.
1.01×2^-5
という値を (指数を 18 にそろえるために)
(なんとか)×2^18
という形 (そして「(なんとか)」のところは小数) で表現したいだけです.
もう 1度 #3 を読み返してみてください. どこに「指数を-23に変えた」とありますか?
もっといえば, 最初の質問の
「(1.01)2×2^-5」が「0.0000000000000000000000101」になる
の時点で, 既に誤解しています. この式を素直に読めば
(1.01)2×2^-5 が 0.0000000000000000000000101 ×2^18 になる
としか読めないはずです. なぜ「×2^18」を無視したんですか?

お礼

ご回答ありがとうございます。

(1.01)2^-5が0.0000000000000000000000101になるのは、
(1.01)2^-5を(1.01)2^18に直したからなんですね。

すると、#2・#3・#5さんの言われている通り、
(1.01)2*2^(-5)/2^18=(1.01)2*2^(-23)になるからなんですね。

当方、全く勘違いしておりました。
ご丁寧に解説して頂き、ありがとうございました。

以上、ありがとうございました。

回答No.3

okormazd

#2です。
最後ちょっとミスがありました。

指数を10^18にそろえるために、
(1.01)2×2^-5=x*10^18
としたxです。
x=(1.01)2*10(-23)
だから、
(0.0000000000000000000000101)2
になるのです。
↓
指数を2^18にそろえるために、
(1.01)2×2^(-5)=x*2^18
としたxです。
x=(1.01)2*2(-23)
だから、
(0.0000000000000000000000101)2
になるのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

(1.01)2×2^-5の指数を-23に変えたから
(1.01)2*2^-23=0.0000000000000000000000101なんですね。

そこで疑問に思ったのですが、

なぜ-5の指数が-23になるのですか。
なぜ(1.01)2×2^18は指数が23で
1.0100000000000000000000なんですか。
これも同じように指数は-23にならないのですか。

お手数ですが、ご教授お願い致します。

回答No.2

okormazd

ふつうに10進数で考えてみたらどうでしょう。
123000000+123=123000123
ですよね。これは、指数部が0、すなわち10^0にそろえ計算したものです。
これは9桁ですが、こんなに大きな桁数をそのまま計算できない計算機だとすれば、たとえば、
1230*10^5+123=
の計算をすることになりますね。この足し算でどことどこを足せばいいのでしょうか。1230+123=1353はだめなことは明らかですね。
1230*10^5+0.00123*10^5=
として、指数をそろえれば、1230+0.00123=1230.00123と計算できて、
1230*10^5+0.00123*10^5=1230.00123*10^5
でいいでしょう。指数をそろえないと、足し算できない、いいでしょうか。

「(1.01)2×2^-5」が
「0.0000000000000000000000101」
になんかなりません。

指数を10^18にそろえるために、
(1.01)2×2^-5=x*10^18
としたxです。
x=(1.01)2*10(-23)
だから、
(0.0000000000000000000000101)2
になるのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

#3の方へ更なる疑問点を書きましたので、
面倒かと思われますが詳しく教えて下さい。

以上、ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「計算をしやすく」というか, そもそも指数部をそろえないと計算できないよね. たとえば 13.7 + 4.25 という計算をするときに, 末尾の 7 と 5 をそろえて
1 3.7
4.2 5
-----
5 6.2
のように計算しますか?

最後の「(1.01)2×2^-5」が「0.0000000000000000000000101」になるというのは, 単に指数部の値を変更した結果仮数部も (指数部の変化を相殺するように) 変えなきゃならないってだけです. ここは「指数部をそろえなければならない」というだけで分かるはずです.

ちなみに指数部を 18 にそろえているのは, 単純に「大きい方にそろえている」だけであって特に意味はありません. 最終的には仮数部が一定の範囲に入るように調整し直すので, どこにそろえたとしても同じことです.

お礼

ご回答ありがとうございます。

指数部を合わせる意味が分かりました。
そして18にしてるのに特に意味は無いんですね。

以上、ありがとうございました。