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下図に示す剛体棒の長さ l の先端部に質量 m のおもりが付いている。 長さ a の先端部は、ばね定数 k のばねで固定されている。 但し、はりの質量はおもりの質量に比較して小さく無視できるものとする。 設問1.　O点回りに微小角度θだけ変位したとき、運動方程式を示せ。 　　　　　答えは　ml^2 x （d^2θ/dt^2）　+　ka^2θ　＝　0　なんですが、 　　　　　もっと勉強しろ！って突っ込まれるのを覚悟でお聞きしたいのですが、 　　　　Q1.答えの式の中のdの意味がわかりません。 　　　　Q2.なぜdを二乗するんでしょうか？ 　　　　Q3.ｔ＾2は重力加速度だと思うのですがdが解らないためにdt^2が 　　　　　　何なのかが解りません。 　　　　Q4.θの単位はラジアンでよろしいでしょうか？ ご教示頂けたら幸いに存じます。　　　　　

x*(dy/dx)+y=x*e^x[y(1)=-2] の一般解および[]内の条件を満たす解を教えてください。 お願いします。

考えてみても全然わかりません。 どう式をつなげていったらいいのか見当もつかず・・・ どなたかご教授お願いします！＞＜

（１）ｘとｙがともにｔの関数である時、ｘとｙに関する次の連立方程式を、初期条件ｘ（０）＝１、ｙ（０）＝１に対して解きなさい。 　　　　　ｄｘ/dt=5/6x+2/3y dy/dt=-x-y (2) 初期条件ｘ（０）＝2、ｙ（０）＝0に対して解きなさい。 dx/dt=x+2y dy/dt=2x+y よろしくお願いします！

変数係数斉次線形微分方程式y''+P(x)y'+Q(x)y=0の特殊解または、基本解系はどのように求めることができるのでしょうか。

y"=√(1-(y')^2)←括弧内はすべてルートの中身 以上の微分方程式の一般解の求め方を教えてください。 一応自分で参考書を見ながら解いてはみたのですが、答えが y=-cos(x+C1)+C2　（C1,C2は積分定数） とcosxがなぜ出るのかわかりませんでした。公式か何かあるのでしょうか。 習ったばかりですぐに試験のため、出来る限りでいいので回答をよろしくお願いします。

ベルヌーイ型の微分方程式 y'+P(x)y=Q(x)y^n をガウス形に変換し、超幾何級数を用いて解く方法を教えてください。 よろしくお願いいたします。 P(x)=a/(x-b)、Q(x)=c/(x^2+bx)、n=-1/2 （a, b，c は定数） の場合を解こうとしています。 普通にベルヌーイ型で解こうとすると出来ない積分がでてきます。 そこで、ガウス型に変換し、超幾何級数で解く方法を模索しています。 教科書に載っているやり方で、級数を ｙ＝Σ(k=0,∞) ck x^(ρ+k) のように置いても、 また、式を更に微分し常2回微分方程式にしてガウス型への変換を試みていますが、できません。 やり方をご存知の方、いらっしゃいましたらご教示ください。 よろしくお願いいたします。

解けなくて困っています。 次の微分方程式の解を求めよ。 y' = x+2y / x という問題があります。 答えを見ると y = Cx^2 -x となっています。 自分で解いてみても、 途中で計算が分からなくなってしまいます。 計算過程を教えてくれませんか？

微分方程式の問題です。「d^2v/dr^2+(1/r)*dv/dr=a (aは定数)を解く際、u=dv/drとおくと、変数変換したもとの微分方程式の同次方程式の解がu=C/r (Cは定数)で与えられ、次にu=(C/r)*wとおいて、wを求めれば、再び変換することでvを求めることができる。」というのは定数変化法を用いていると思うのですが、u=C/rが求められた時点でu=dv /drを使ってvを求めて、その後定数変化法を用いてvを求めるとうまく求められません。また、変数変換後に定数変化法を用いるのに何か条件などは必要ないのでしょうか？どなたかご教授願います。

簡単のため、説明変数tと、目的変数xが、共に実数（スカラー）とします。 また、フィッティング関数 F=F(t,a,b,c) も、簡単のため3変数または4変数のスカラー値関数とし、フィッティングパラメータa,b,cも実数(スカラー)とします。また、Fがフィッティングパラメータを2つしか持たない場合（Fが3変数の場合）には、 F(t,a,b)と読み替えて考えることにします。 また、データ、即ち説明変数と目的変数の実測値の組　(t_{i},y_{i})がn個あるとする。 また、以下の４種類の評価関数を考えます。 A:所謂2ノルム A(a,b,c)=Σ|{y}_{i}-F({t}_{i},a,b,c)|^2 B:n個の正数w_{i}を用いて、重みづけ B(a,b,c)=Σ(w_{i}|{y}_{i}-F({t}_{i},a,b,c)|^2) C:単調（非退化、つまり任意の点で微分がバニッシュしない）な関数φを用いて変換 C(a,b,c)=Σ|φ({y}_{i})-φ(F({t}_{i},a,b,c))|^2 D:所謂1ノルム D(a,b,c)=Σ|{y}_{i}-F({t}_{i},a,b,c)| （Q1）このとき、以下の命題のうち、同値な命題はどれとどれですか？ P「(a,b,c)がAの極値点である」 Q「(a,b,c)がBの極値点ある」 R「(a,b,c)がCの極値点ある」 S「(a,b,c)がDの極値点である」 (Q2)重みづけの意味について： *実際、最急降下法のプログラムを作ってみると、 Dの場合で、直線に近い形状になるように変換した場合（たとえばシクモイドの場合logをφに取る）。 Cの場合で、変化が緩慢なiに重みをつけた場合。 Aの場合。 の順に速度が速く、いずれの場合もだいたいの場合には、まあまあ（10000回ぐらい再起計算すれば） まあ、見た目に近いグラフが出てきます。 だとしたとき、wやφというのは、何を意味しているのでしょうか？ ここで、最急降下法は、以下の意味で考えている 最急降下法の初期パラメータを(a_0,b_0,c_0）とし、 k回目の計算値を({a}_{k},{b}_{k},c_{k})と記載する。 このとき、({a}_{k},{b}_{k},c_{k})は、以下の漸化式を再帰的に数値計算することで求める。 (a_{k+1},b_{k+1},{c}_{k+1})=(a_{k},b_{k},{c}_{k})-ε*grad(J(a,b,c)) 但し。Jは、A,B,Cいずれかの評価関数で、εは充分小さい正定数 (Q4)εのテンソル化： というほど大げさなものではありませんが、εを正値の対角行列にした場合 収束が早いことがあります。この場合εの異方性がフィッティングパラメータの収束性 どのように作用しているのでしょうか？また、こんなことをしてもいいのでしょうか？

以下の微分方程式を解いて計算したいのですが、学生以来に微分方程式に触れることとなり、解き方が全く思い出せません。明日には何とかしないといけないので、大変申し訳ないのですが、誰か教えて下さい。 ｄY/ｄX　＝　X　＋　Y - X・Y

解いていただきたい微分方程式は以下の式です。 4∫x dt = t^2 ・ x’-2t x x=x(t)で、積分範囲はtが0から∞、t=∞のときはx=0です。 よろしくお願いします。

以下の問題の解答はあっていますか？ ある独占企業は２つの工場を持ち、それぞれの限界費用は MC1＝３X1＋９ MC2＝３X2/８＋８１/8 （X1、X2はそれぞれの工場の生産量） であるとする。 需要曲線が P＝－３D/２＋３０ （P：価格、D：需要量） であたえられるとすると、この独占企業が利潤を最大にするときの２つの工場の生産量の合計はいくらか。 R＝（－３X1/２＋３０）×X1＋（－３X2/２＋３０）×X2 　＝－３X1^2/２＋３０X1－３X2^2/２＋３０X2 *D＝Xとしてしまったのはあっていますか？ ∂R/∂X1＝－３X1＋３０＝MC1＝３X1＋９ 　　　　　　　　X1＝７/２ ∂R/∂X2＝－３X2＋３０＝MC2＝３X2/８＋８１/8 　　　　　　　　X2＝５３/９ X1＋X2＝１６９/１８ 割り切れなくなってしまったのですがこの解であってますか？

物理の微積分についての質問です。 回転中実円板(円筒座標系:r,θ,z)で平面ひずみ状態(εz=0)とした時、σｒ=｛E/(1+ν)(1-2ν)｝・｛(1-ν)du/dr+ν・u/r｝とσθ=｛E/(1+ν)(1-2ν)｝・｛(1-ν)u/r+ν・du/dr｝となりました。ここで、円板の応力の釣合い式はr・ｄσｒ/ｄｒ+σｒ-σθ+ρ・ω＾2・ｒ＾2=0となっています。 この式のσｒとσθに代入したのちｒについて積分を行うなどして、u=～の形の式にしたいのですが、途中の微積分がうまくできていないせいか(？)なかなかまとまりのある式にならず、困っています。 平面応力状態(σｒ=｛E/(1-ν＾2)｝・｛du/dr+ν・u/r｝、σθ=｛E/(1-ν＾2)｝・｛u/r+ν・du/dr｝、)の時なら、 u=(c1・ｒ)+(ｃ2・1/ｒ)-｛(1-ν＾2)/8Ｅ｝・ρ・ω＾2・ｒ＾3 (ｃ1、ｃ2は積分定数) といった式になります。 途中の微積分の仕方や詳しい式、uについて求めた式がわかる方がいましたら、ぜひ解き方を教えていただきたいです。

春から理学部物理学科に入学するのですが、大学一年時の物理や数学の微積分学は高校物理や高校数学3の微積分学と似たような内容なのでしょうか？それとも全く違うものなのでしょうか？

いつもこちらのサイトでお世話になっております。 ミクロ経済の企業の利潤最大化の例で以下の文章が上がっています。 Key assumption: Firms maximize their profits. The profit is defined as revenue minus costs. Simplest Case: single-input-single-output firm. The firm uses its technology to transform R units of input into y units of output. The relation between input and output is described by a production function f, with y = f(R). Let p; q denote the prices of y and R. Then the profit is π= max (pf(R) - qR)⇒ pf’(R＊) = q and pf’’R＊) < 0 　 R This implicitly defines demand for R as a function in p and q, R* = R(p, q), and supply　y*= f(R*). π= max (pf(R) - qR)、R*がpとｑの関数であるというところまでは、理解できたのですが、なぜ　y*= f(R*)となるのでしょうか？ a production function f, with y = f(R)のこの、Rはto transform R units of an input into y units of an outputよりp,qを示していると解釈しても良いのでしょうか？ 読めば読むほどこんがらがってきて、生産関数はf=(K,L)で教科書にも出てくるので、このRもそれと同じかなと思ったのですが。この例のあとに例題も乗っていてそれもよくわからなくなってきたので、質問をさせていただきました。 もしもお時間がありましたら、ご教授お願い致します。

連立微分方程式の初期値問題についての質問です y1' = -18y1 -30y2 y2' = 10y1 + 17y2 y1(0) = 10 y2(0) = -6 の解の求め方を教えてください よろしくお願いします

微分の増減表について、 増減表にはx,y',yとそれぞれ書いていきますが、 グラフを書いたり、極大・極小を知る上で y'の欄の必要性が分かりません。 恐らく増減表の本質を知らないのだと思います。 お教えください。

Maxwell方程式を解く際，ベクトルポテンシャルAとスカラーポテンシャルφを導入しますよね． この際，A'=A+gradχのゲージ変換を利用して，div(A')=0となるようにしてやると，Aとφが求めやすくなるというのはわかったのですが，なぜdiv(A')=0となるようなχが必ず存在するのかがわからなくて・・・ どの教科書も「必ず存在する」の一言ですませているんです． どなたかご存知の方，教えて頂けないでしょうか？

質量ｍの２つの質点がバネ定数ｋのバネ（自然長L）で連結している。時刻ｔ＝０で質点１の位置はｘ＝０、質点２の位置はｘ＝Lとする。右向きを正として、ｔ＝０で質点１に速度ｖ０を与えた。 （１）時刻ｔの時の重心速度ｖGと重心位置ｘGを求めよ。 （２）時刻ｔでの質点１に対する質点２の相対速度（ｖ２－ｖ１）と相対位置（ｘ２－ｘ１）を求めよ。 （３）時刻ｔでの質点１と２の速度ｖ１、ｖ２と位置ｘ１、ｘ２を求めよ。 （２）に至っては質点１が動いてバネが縮むと弾性力で質点２が押されて時々刻々と速度が変化すると思いますので、どうやって問題を解いていけば良いのか全く分かりません。バネの伸び縮みによって質点の位置も複雑な変化をするので難しく、運動方程式も上手く立てられない状況です。 一応自分なりに解こうとした方法は、まず先に初速度ｖ０で質点１が動いてバネが縮んだ事による弾性力はｋ(x2-x1-L)となるから...とここまで程度で、変位だけでなく更にどちらの向きに各質点が動き、バネが縮んだのか或いは伸びたのかが全て時間によって変わるので歯が立ちませんでした。 実はこの問題は別のサイトでも質問させてもらったのですが、回答者によって若干答えが違っていたり、少し不明な点があったのでこちらでも質問しました。ちなみに他の回答者さんたちは誰も換算質量μで式を立てていなかったのですが、換算質量で考えなくてもよろしいのですか？ どなたか上の問題の解説をお願い出来ないでしょうか。