空間ベクトルと線形独立の条件?
ベクトルの成分の条件がわからないので質問します。
uべクトルを→uと書きます。また内積の記号は・を使います。お願いします。
xyz空間の点Pを通り、2つの空間ベクトル→u,→vに直交する直線を求めよ。
解答、P(a_1,a_2,a_3)、→u(u_1,u_2,u_3)、→v(v_1,v_2,v_3)としましょう。求める直線の方向ベクトル、つまり直線と同じ向きを向いたベクトルの1つを、
→w(w_1,w_2,w_3)とおきます。すると→wと→u、→vと直交するので、
→w・→u=→w・→v=0が成り立ちます。これを成分で表すと、
w_1u_1+w_2u_2+w_3u_3=0・・・(1) w_1v_1+w_2v_2+w_3v_3=0・・・(2)ここからがわからないところです。
いまu_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。これは平面ベクトルで
→u(u_1,u_2)、→v(v_1,v_2)が線形独立であるための必要十分条件なので、空間ベクトルでつかっていいとは思えません。本では、すると(1)*v_2-(2)*u_2を計算して、w_1=-(u_3v_2-u2v_3)*w_3/(u_1v_2-u_2v_1)。同様に(1)*v_1-(2)*u_1より
w_2=-(u_3v_1-u1v_3)*w_3/(u_2v_1-u_1v_2)がえられ、そこで、w_3=u_1v_2-u_2v_1とすると、
→w=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)と方向ベクトルを求めています。
いまu_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。なぜこのような条件がつけれるのか説明してください。お願いします。
お礼
回答ありがとうございます。あと私は以前中根式も勉強したこともあります。衆参養成所はもう募集してないとのことです。今できる方式は三種類です。どれもメリットデメリットがあると思いますが、結構方式もいろいろと勉強してました。とりあえず回答ありがとうございます。
補足
回答者さまに補足質問なのですが、早稲田式の「の」は中根式の「日本」になり また佐竹式の「フ」はV式の「タイ」にもなります。中根式で「速記」の基本文字は 早稲田式では「ろ」+「促音」+「お」になりますが、その点いかがお考えでしょうか。