配管中のガス流の圧力損失によるエネルギー損失

質問

配管を流れるガスの圧力損失によるエネルギー損失(正確には仕事率[J/s]の損失)の計算方法が知りたいです。

例えば、体積流量Vin[m3/s]の空気流が配管中に設けてあるバルブによって受ける圧力損失をΔP(=Pout-Pin)[Pa]としたときの、空気が経験する仕事率損失ΔW[J/s]はいくらになるかという問題において、バルブ通過後のガス温度がどうなるかがよく理解できていない為だと思うのですが、計算方法が分かりません。
ちなみに配管の径が不明な為、ガス流速は算出できないという条件です。
求められている精度はそれほど高くないので概算でOKです。

さしあたって思いつく解としては
(1)ΔW = ΔP x Vin
(2)ΔW = ΔP x Va (Va:平均流量=(Vin+Vout)/2)
(3)ΔW = ΔP x Vout

の3つですが、全く見当違いの気もします。

どなたか宜しくお願い致します。

回答No.1

do_ra_ne_ko · ベストアンサー

このようなときには、一般的な解法に従うべきだと思います。

先ず、高圧側の空気inに魔法をかけて、赤色に色付けします。
次に、この空気が低圧側に流れますので、低圧側に流れた空気out
に魔法をかけて青色に色付けします。

この赤と青は色が変わっただけで同じものです。
これが外部になす仕事をＷとします。

Ｗ＝∫ＰｄＶ　です。・・・・・・・・・（１）

空気を理想気体、つまり　Ｐout*Ｖout＝constant＝Ｐｉｎ＊Ｖｉｎ　が成立するとします。
これは、赤の状態、青の状態、についてだけ成立しますが、
赤から青に変化するときには、どのような関係が成立するか不明です。

色の変化の途中では、可逆断熱変化をすると仮定します。
空気のバルブを通過する時間は短いので、理論的に加熱または冷却には時間が必要ですが、
さっと通過してしまうので熱交換がないと仮定するのです。

そうすると、色の変化時には　ＰＶ＾ｋ＝constant＝Ｐｉｎ＊Ｖｉｎ＾ｋ　が成立します。
ここで、ｋは比熱比という物性値で、空気の場合にはｋ＝１．４です。

そうすると、Ｖ＝（Ｐｉｎ）＾（1/k）＊Ｖｉｎ*P^(-1/k)
これを微分します。
　　　　　　ｄＶ＝｛（Ｐｉｎ）＾（1/k）＊Ｖｉｎ｝*(-1/k)*Ｐ^｛-（1/k）-1｝dＰ
これを（１）式に代入してＶを消してかＰだけの式として積分します。

Ｗ＝∫ＰｄＶ＝｛（Ｐｉｎ）＾（1/k）＊Ｖｉｎ｝*(-1/k)∫Ｐ*Ｐ^｛-（1/k）-1｝dＰ
＝｛（Ｐｉｎ）＾（1/k）＊Ｖｉｎ｝*(-1/k)∫Ｐ^{-（1/k）}dＰ
＝｛（Ｐｉｎ）＾（1/k）＊Ｖｉｎ｝*(-1/k)*｛ｋ/(k-1)}*　[ { Ｐout^{ k-1/k}－Ｐｉｎ＾^{ k-1/k} ]

ｋ，Ｐｉｎ，Ｐｏｕｔ、Ｖｉｎ　は既知ですので　Ｗ　を計算して下さい。
なお、これは理論式ですので、圧力はゲージ圧ではなく絶対圧を使ってください。

式の変形は間違っていないとおもいますが、文字が小さいので定かではありません。
何も見ずに、この式を導き出したので合っているかどうかは保証の限りではありません。

お礼

ほんとうにありがとうございます。
とても助かりました。

色を使って説明して頂いたのもイメージし易さの助けになりました。
また、絶対圧を使うべしという点の配慮も有難いです。

断熱膨張を仮定することでポアソンの式が使えるんですね。

回答No.2

okormazd

A.
断熱変化とすると、理論的には次のようになると思う。
P：圧力
V：体積
T：温度
γ：比熱比
ΔＰ：圧力損失
Ｗ：仕事
添え字
in：入口
out：出口
とする。
1.
Pout=Pin-ΔＰ
質問の式とは違うけど、ふつうはこれ。

2.
ポアソンの式
PV^γ=const
から、
ＰinＶin＾γ=PV^γ=PoutVout^γ
P=PinVin^γ/V^γ　　　・・・(1)
Vout=(Pin/Pout)^(1/γ)Vin=(Pin/(Pin-ΔP))^(1/γ)Vin　　　・・・(2)
また、
TV^(γ-1)=const
から、
TinVin^(γ-1)=ToutVout^(γ-1)
Tout=(Vin/Vout) ^(γ-1)Tin
(2)をいれると、
Tout=((Pin-ΔP)/Pin)^(1-1/γ)Tin
これで、出口温度はわかる。以後、使わなくてもいいけどね。

2.
仕事、(1)をいれて、
W=∫(_Vin^Vout)PdV=PinVin^γ∫(_Vin^Vout)V^(-γ)dV
=PinVin^γ/(1-γ)(Vout^(1-γ)-Vin^(1-γ))
(2)をいれて、
W=Vin^(1-γ)((Pin/(Pin-ΔＰ))^(1/γ-1)-1)
これが、質問の答え。(計算ミスがあるかもしれないよ)

B.
実用的な計算は、こんなことはしません。
しかし、
流速と管径、管挿入物の種類・形状が必須です。
これがないとまるで計算できません。
「概算でOK」も計算できない。

お礼

ありがとうございます。

do_ra_ne_koさんのご回答では、Pでの積分に変換していらっしゃったのに対し、okormazdさんの解法ではVでの積分にまとめなおして頂いたのですね。
おそらく両者は同じ答えになるはずだと思いますが、実際に数値を入れて確認してみます。

ほんとうに助かりました！