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画像にあるように中段の式を下段の式のように式変形したいのですが、適切な考え方や手順がわかりませんでした。どのようにすればよいか教えていただきたいです。

If we were to make contact with extraterrestrial civilizations, what might we expect them to like, and be like? What could we learn about them from their aesthetics? Whereas most people foresee great scientific advances flowing from contacts with advanced extraterrestrials, we shall discover that the greatest gains might turn out to be quite different. It is also tempting to adopt a variety of cosmic ageism, which has great expectations about long-lived extraterrestrials. Given world enough and time, we confidently expect them to get closer and closer to uncovering all there is to know about what makes the Universe tick. This optimism may be displaced. If you want to understand the Universe, intelligence and longevity may not be enough. Our own scientific development will be seen to hinge upon a number of extraordinary coincidences about our environment and our view of the sky. (The artful universe by J.D.Barrow） 中間ぐらいにある、 Given world enough and time, we confidently expect them to get closer and closer to uncovering all there is to know about what makes the Universe tick.　 の英文の構造がよくわかりません。 1) 出だしが過去分詞のGiven～で始まっているのですが、Given world enough and timeはどのように意味を取るのでしょうか？　 2) enoughがworld and timeの間に入っているのですが、world and time enoughにはならないのでしょうか？ 3）we confidently expect them to get closer and closer to uncovering allのto get closer and closer toは、～へますます近付く、の意味ですか？そうなると uncoveringの品詞は何になるのでしょうか？allを修飾しているのでしょうか？ 4）all there is to know about what makes the Universe tick.がよくわかりません。 (there is~以下がallにかかるという構造ですか？） there is to do～はbe動詞+to不定詞構文ですか？　だとすると何用法になるのでしょうか？（予定、義務、可能、など） 意味を取るとどうなりますか？ よろしくお願いいたします。

かなり前のライブ音源なのですがアーティスト名・曲名が不明です。 是非教えてください。 https://soundcloud.com/user-996459384-129826667/v4wpcwsoditt

テスト前で物理を勉強していたところ、教科書の解説に納得がいきません Ｋ= 0 1 -ω^2 0 の行列に対し e^Ktを求めるという問題です 解説には e^Kt=Σ(∞ n=0)(Kt)^n/n!=(cosωt)E+(sinωt/ω)K と書いてあったのですが、Σから三角関数への流れがよくわかりません どうかよろしくお願いします

縮退のない1次元の系でポテンシャルが偶関数の場合、エネルギーの固有関数は偶関数か、奇関数に限られることを示せ。 1次元のシュレディンガ－方程式はポテンシャルV(x)として、 -(h'^2/2m)(d^2φ(x)/dx^2)+V(x)φ(x)=Eφ(x) (h'=h/2π) ポテンシャルが偶関数なのでV(x)=V(-x)となる。 ここからどうすればよいですか？詳しい解説お願いします。