円周率（π）が超越数であるということの意味は？ そして真理とは？

質問

数学カテゴリで質問しようかと思いましたが、やっぱり哲学カテゴリにしました。
以前、「ゲーデルの不完全性定理ってわかりやすく言うと何？」と質問したとき
回答者の方から『不完全性定理のストレートな解釈は「自動的に定理を枚挙する
ようなアルゴリズムはない」という意味です』というすばらしい回答をいただき
感嘆いたしました。これこそ「事実のもつ意味であり真理だ」と思ったものです。
そこで質問です。

【質問１】円錐の体積は円柱の体積の１/３、球の体積は円柱の２／３という具合
に、体積比はきれいな有理数値です。なのにどうして円周率（π）は有理数でも無
理数でもない超越数なのでしょうか？（無理数は超越数の一部かな？）
その意味するところを何か「うまい言葉」で表現することはできないでしょうか？
曲線と直線の本質的不親和性とか何とか、、、あるいは数という概念の限界とか
何とか、、、

【質問２】円周率（π）が超越数であるという「真理」は、造物主が創ったものなど
ではなく、人間が「円周と直径の比は？」という問いを発したからムクムクと姿を
現したものであると考えることができると思います。したがって「事実」は自然界
に自然に存在するが「真理」は人間が「問い」を発して「創る」ものだと思うの
ですが素人考えでしょうか。

【質問３】「真理」は広く一般に認められて「事実」となり、それがさらに高次の
「真理」を生み出す母体基盤となると思うのですが、どうでしょうか。

このところ、ぼんやりと考えている「ホントに素人」な疑問です。
どんな回答でも結構です。質問１～３のどれかひとつだけの回答でも結構です。
いろいろな観点からのお話をお待ちしています。

回答No.5

serpent-owl

おもろいおっさんでいらっしゃいますね。円周率から「真理」をお考えになるなんて。
　でも、お気持ちはわかります。πって、すごく不思議な数ですから。私もあるきっかけからπには強く心惹かれています。文系人間でして、円周率なんてものは小学校で学んで以来さして気にも止めていなかったんですが、天文学者の故カール・セーガンが書いたＳＦ小説『コンタクト』を読みまして（ジョディ・フォスター主演で映画化もされましたね）、その最初の方に、
　　　π/４＝１－1/3+1/5-1/7+1/9……
という風に、分母を奇数にして増やしていきながら足したり引いたりしていくと、徐々にπの値に近づいていくということに、少女時代のヒロインが驚きを感じたと書いてありました。で、私もまた、驚きを感じたわけです。だって、有理数を足したり引いたりを無限に繰り返すと「超越数」になるというんですから。
　これはもう、思わず自分で確かめてしまいましたよ。最初、手計算でやって「あ、ダメだ、こりゃ」と気付いてプログラムを作りました。こういうやつ…

LET p=4
LET q=3
LET n=1
LET f=1
DO
LET p=p-4/q*f
PRINT n,p
LET n=n+1
LET q=n*2+1
LET f=f*( -1 )
LOOP
END

　言語はBASICです。もしmori0309さんのマシンがウィンドウズなら、「十進BASIC」というフリーウェアを入手すれば実行できますよ。コピー＆ペーストして。
　入手先は、ここ。
　　http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/
　大規模なアプリケーションを作るには不向きですが、ちょっとした数値演算を行うにはたいへん簡便で使いやすい処理系です。πの計算以外に、「コンウェイの蟻」とか「ロジスティック写像によるカオス」とか「三体問題モドキ」とか、プログラムして遊んでます。
　あっと、話が逸れました。とにかく、有理数の果ての果てのそのまた先の果てに「超越数」が存在している…頭の中がすーっと寒くなるような感動を覚えました。
　なお、上記のような式は「マクローリン展開」というそうです。自然対数の底ｅ（これも超越数）もマクローリン展開して、
　　　ｅ^x=1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+(1/4!)x^4…
と表せます。これにx=iθ（iは虚数単位）を代入すると、途中は飛ばしますが、
　　　e^(iθ)＝cosθ+i・sinθ
というオイラーの定理が導かれます。さらにこれにθ＝πを代入すると、
　　　e^(iπ)＝－１
となります。これは変形すると　e^(iπ)+１＝0　となって、数学の上で特に興味深い五つの数、「e、π、i、0、1」が、すべて一本の式で結ばれていることになります。こんなにもシンプルな形で。これも感動しましたねえ…。
　あ、また話が逸れてしまいました。それに回答もまだですね。
　では、【質問２】への回答につながるかもしれない情報をば一つ、お土産に。
　なんと、「円周率πには、音楽が隠されていた！」という話です。下記の参考HPはこれに関するサイトです。
　円周率に出てくる数字を音符に置き換えていったら、あら不思議。音楽になっちゃったそうです。アップテンポあり、ワルツあり、レクイエムありのさまざまな楽曲が飛び出してきて、しかも「先に進めばまだまだありそう」なのだそうです。
　これを発見したのは中学校の先生です。発見の詳しいいきさつも、下のHPに書かれています。こちらもまた、おもろいおっさんであるようです。
　隅っこの方の、特に意味もないノイズのような文字列。そういう断片を古い方から順につなぎ合わせていくと一つの音楽になる…これは一つの解釈学ですね。
e.jp

参考URL：

http://web.kyoto-inet.or.jp/people/haselic/pi/pai.htm

お礼

serpent-owlさん、回答ありがとうございます。お礼が遅れて申し訳ありませんでした。
ご回答内容をしっかりと味わって、後日またお返事させていただきます。
「解釈学」を解釈してもやっぱり「解釈学」なのですね。それも独り語の。

補足

serpent-owlさん、ありがとうございます。間をあけてしまって申し訳ありませんでした。
>　π/４＝１－1/3+1/5-1/7+1/9……
こういうふうに示されるとπって実は美人なんだなあと思います。
やっぱり美人は永遠ですね。（差別的？）
>　e^(iπ)+１＝0　
>　こんなにもシンプルな形で。これも感動しましたねえ…。
これこそ意味が知りたいです。この数式はいったいどういう真理を表しているので
しょうか。eやπのような神秘的な超越数は他にもあるのでしょうか。
どうして人間は「シンプル」で「美人」な「法則性」に感動するのでしょう。
自分が「複雑さの極み」へと「強制連行」されているからでしょうか。遺伝子情報の
なかには、試行錯誤のあとみたいな無駄なキタナラシサがいっぱいということですし。
あぁー、キレイになりたい。すべてをやり直したい。全知全能になりたい。
>　円周率πには、音楽が隠されていた！
聴きました。会社では聴けないので家で。でも、ちょっと、、、つらいですね。
発見者（？）の興奮は分かるんですけど、、、
でも、楽しませていただきました。ありがとうございました。