円周率（π）が超越数であるということの意味は？ そして真理とは？

質問

数学カテゴリで質問しようかと思いましたが、やっぱり哲学カテゴリにしました。
以前、「ゲーデルの不完全性定理ってわかりやすく言うと何？」と質問したとき
回答者の方から『不完全性定理のストレートな解釈は「自動的に定理を枚挙する
ようなアルゴリズムはない」という意味です』というすばらしい回答をいただき
感嘆いたしました。これこそ「事実のもつ意味であり真理だ」と思ったものです。
そこで質問です。

【質問１】円錐の体積は円柱の体積の１/３、球の体積は円柱の２／３という具合
に、体積比はきれいな有理数値です。なのにどうして円周率（π）は有理数でも無
理数でもない超越数なのでしょうか？（無理数は超越数の一部かな？）
その意味するところを何か「うまい言葉」で表現することはできないでしょうか？
曲線と直線の本質的不親和性とか何とか、、、あるいは数という概念の限界とか
何とか、、、

【質問２】円周率（π）が超越数であるという「真理」は、造物主が創ったものなど
ではなく、人間が「円周と直径の比は？」という問いを発したからムクムクと姿を
現したものであると考えることができると思います。したがって「事実」は自然界
に自然に存在するが「真理」は人間が「問い」を発して「創る」ものだと思うの
ですが素人考えでしょうか。

【質問３】「真理」は広く一般に認められて「事実」となり、それがさらに高次の
「真理」を生み出す母体基盤となると思うのですが、どうでしょうか。

このところ、ぼんやりと考えている「ホントに素人」な疑問です。
どんな回答でも結構です。質問１～３のどれかひとつだけの回答でも結構です。
いろいろな観点からのお話をお待ちしています。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

質問１
　超越数って、なんかスッゴイ名前を戴いちゃって、完全に名前負けしてます。超越数とは「整数係数の多項式=0」という方程式の解にならない実数のことです。整数係数多項式とは係数に整数しか許さず、足し算、引き算、かけ算だけで構成される式（だから、冪を使って表現しても、冪の肩に乗るのは自然数の定数だけです）。だからまあ、一番「易しい」たぐいの方程式でしょう。「与えられた円と同じ面積の正方形を定規とコンパスで描け」と言われてもできない。定規とコンパスだけで平面上に点を決める操作は、解析幾何学に翻訳するとすべて低次の整数係数多項式の方程式に帰着してしまうからで、どうやっても√πという長さが作れません。
　なお無理数とは「有理数でない実数」の事です。整数係数の方程式 nX-m=0の解はX=m/nですから、有理数は超越数ではない。すなわち超越数はみんな無理数です。無理数√2は方程式 X×X-2=0の解だから超越数ではなく、従って、超越数⊂無理数。
・実数と無理数に関しては： http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339

　コンピュータのプログラムで任意の精度まで計算できる（「計算可能な」もしくは「構成可能な」）実数というのは、実は高々、自然数の個数と同じだけ（アレフ０個）しかありません。（証明はmori0309さんにお任せ。プログラムのゲーデル数を考えてみれば...）実数の個数はずっと多い（アレフ１個）ので、圧倒的多数の実数が計算不可能であり、また当然の事ながら計算不可能な数はみんな超越数です。で、πは計算できる実数。可愛いもんです。つまり、計算不可能な数⊂超越数。
・実数の個数に関しては： http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=31937

　円に関係してπが出てくるのは、直径と円周の比、という所にポイントがあるんですね。面積と円周の比じゃダメです。円周も円の面積も、また円錐や球の体積・表面積も、みんな仲良くπの因子を１つずつ含んでいますから、お互いに比を取ればπは消えてしまいます。しかし、一般に半径rのn次元球の体積は
　nが偶数： V[n] = (r^n) {π^(n/2)}/{(n/2)!}
　nが奇数： V[n] = (r^n) 2 {(2π)^((n-1)/2)}/{n!!}
　　 (ただしn!!= n (n-2) (n-4) ... 1 )
です。円はn=2（２次元における体積=面積）、球はn=3（普通の意味での体積）。で、n=4次元だったら、
V[4]=(r^4) {π^2}/2
であり、円や球の体積との比を取るとπの因子が残ってしまいます。逆にn=1次元でも
V[1] = 2r
だから、πの因子が残ります。（1次元の場合の体積とは、直線上に中心Oを取り、そこからrの距離にある２つの点に印を付けて、その２点間の距離を測った物です。）
　ちなみにn次元の球の表面積はV[n]のrによる一階微分S[n]=dV[n]/drで表されますから、或る球の表面積と体積とではπの因子の次数はいつも同じです。（n=2の場合で言うなら、円の面積と円周との比を取るとπの因子は残らない。nが幾つでも同じ事です。）
・n次元球の体積に関する若干の議論は： http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=19508

　円形の海があってその周囲が丁度直径の３倍である、という記載が聖書の中にあるそうで、円周率が丁度３じゃない事に悩んだヒトも昔は（今でも？）随分いたと聞きます。これは大地が平らだと仮定するからそうなっちゃうんで、仮に空間の曲率が正であるとしたとき（この場合球面上）の非ユークリッド２次元幾何学を考えると話は違います。円周率は円の直径に依って変化するものになり、これが丁度3になるような海の直径を割り出せます。すなわち、北極点を中心にしてこのような円形の海があったとすると、その円周は丁度北緯60°の所に来ます。地球の半径をRとするとき円周の長さ＝2πRsin(π/6) = πR, 球面に沿って測った海の直径は=2R(π/6)= πR/3ですから、円周率は(πR)÷(πR/3)＝3になります。（だから聖書学は球面幾何学を含んでいる？というのは例によって考え過ぎです。）
・非ユークリッド幾何に関する若干の議論は： http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=30830

質問２
　とても重要な観点だと思います。「真理」という所を「概念」と呼んでみては如何でしょうか。数学にはいろいろな性質を表す言葉が導入されます。そしてそのような性質同士の関係を問う、などの問題を考える訳です。しかし（普通の数学の場合）これらの性質は、全部集合論の記号と論理式に完全に還元して表現することができます。素数であるとか、超越数であるとか、ゲーデル数であるとか言うのは、言ってみれば人間が発明した「概念」であり、本来は論理式のパターンに過ぎないものに名前を付けることによってヒトが創造した、と考えることもできます。
初めに言葉ありき。
　逆に「数の性質は初めからそこにあって、それを探求して発見して行くんだ」というケンキョな考え方もあり、どちらかと言うとこっちの方が普通でしょう。
・質問３に関しては： http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=24901

お礼

stomachmanさん、ありがとうございます。いつもながら、完璧ですね。スゴイです。
（私は、やっぱり、カテゴリミスをしてしまったようです。ハズしてばかりです）

>　円周率が丁度３じゃない事に悩んだヒトも昔は（今でも？）随分いたと聞きます。

どうしても「何か意味があるはずだ」と思ってしまうんですよねぇ。文学趣味者は
旗色悪いなあ。（私が安直な空想家なだけ？）
いつも、自然のなかの事実に寓意を読みたくなってしまうんです。でも、こう、
stomachmanさんに「分析こそ賛美」「事実に意味などない」ということの実例を次から
次へと見せていただくと、ｇｏｏのネズミも出ないです。（あーオヤジギャグ）
ケンキョな「普通」の考え方（正気の里）に帰らなくちゃいけないのでしょうか。
やっぱり「普通」は偉大なのですね、、、ってまた価値判断をしてしまうmori0309です。

補足

stomachmanさん、ありがとうございました。
他のみなさんも、ありがとうございました。

部屋を締め切るのは、ちょっとだけ、淋しさを感じます。
訪れてくれる人が、いなくなってしまうようで。
愛着や想い出に、永久封印をするようで。

う～む。回顧し懐古し解雇されちゃうmori0309でした。
（仕事が上の空で、ポカミス多発）