円周率【超越数】を有理数で定義する

質問

円周率は超越数です．
　それを有理数を項とした無限級数で定義できます．

　例：π／４＝１－１／３＋１／５－　．．．

　有理数の和と無理数（超越数）が等しいというのはおかしい
という考え方はできますか？
　あるいは，「円周率とは，たまたまそういう数なんだ」
ということなんでしょうか．

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>　有理数の和と無理数（超越数）が等しいというのはおかしい
>という考え方はできますか？

重要なのは「無限級数」だということです
超越数は各項が有理数の無限級数の和で
表せるのは当然のことです．
もちろん有限和ならありえません．

任意の無理数は必ず有理数で近似できる
＃実数論の最初の方で出てくる定理：
＃有理数は実数の中で稠密であるということ
のでぶっちゃけた話，無限級数の値で表せます

卑近な例：
ルート2=1.41241356・・・・
=1+0.4+0.01+0.002+0.0004+・・・
各項が有理数の立派な無限級数です．
これは超越数じゃなくて，
方法もちょっとずるいかもしれませんが
間違いではありません．

もうちょっとましな例だと，
自然対数の底e（これは超越数）
e=1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・
各項が有理数の無限級数です

他にもzeta関数関連で
\pi^2/6 とかの級数展開も有名ですね
log2とかsin1も超越数ですけど
マクロリン展開で有理数の級数に展開できます．

お礼

ご教示ありがとうございます．

回答No.4

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

重要なことは、「有限項の和」は、実際に足し算をした結果ですが、「無限項の和」は、足し算の結果ではなくて、足し算を数列としてみた場合に、その数列が「収束する先」を意味しています。

ですから、「有理数の和は有理数」というのは正しいのですが、その有理数の数列の「収束先が有理数」という保証はありません。

元々の式自体が略記であり、
S(1) = 1
S(2) = 1 - 1/3
S(3) = 1 - 1/3 + 1/5
S(4) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7
と定義したときに、数列 S(n) の収束先を、
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ....
と表現しているのに過ぎません。
従って、右辺は、「無限に足した結果」ではなくて、「足し算の結果が収束する先」を意味しています。

お礼

ご教示ありがとうございます．

回答No.3

keiryu

無限ということが重要では？
無限を有限の延長と考えては間違いの元。
有理数を有限回たすと有理数になる、だから有理数を無限回たすと有限の場合から類推して、「当然」有理数になるのだ、という考えがあるように推察されますが、そこが、無限と有限の決定的差。無限はなかなか不思議なものでして、知っているとは思いますが、有限だったら、の一部は当然もとの集合の一部ですが、無限だったら、その一部であったにしても、もとの集合の一部ではなく、もとの集合と対等に渡り合えますよね。

お礼

ご教示ありがとうございます．

回答No.2

rabbit_cat

というか、もっと素直に、
π = 3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 + 5/10000 + 9/100000 + …
と有理数の無限級数であらわせますね。

お礼

ご教示ありがとうございます．