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今二階微分方程式について勉強しているのですが x^2*y''-x*y'+y=0という問題が解けません。一度ｙ＝ｘ＾ｍ、ｙ’＝ｍ*ｘ＾（ｍ-1）、ｙ’’＝ｍ（ｍ-1）＊ｘ＾（ｍ-2）に置き換えるやり方でといてみたのですが解が自分でやるとｙ＝（Ａ＋Ｂ）ｘとなりました。その後答えのほうを見てみるとｙ＝a*x*logx+b*xとなっていて違いました。 教科書を見てみると一次独立の場合はこのとき方でもいいらしいのですが重解だとだめなのでしょうか？ どなたかこの問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。 .

大学数学の解析の問題がわかりません。 1、一階常微分方程式のすべての実数値関数の 解を求めよ。 (1) u’=t*u∧2 (2) u’=t*√(1-u∧2) 2、一般解を求めよ (1) u’-2*t*u=t∧3 (2) u’’-2*u’-3*u=e∧t*cost (3) u"'-6*u"+11*u'-6*u=0 3、すべてのz∈Ｃに対してe∧z≠0であること 確かめよ 4、λ,μ∈Ｃ,λ≠μとする、次がu1,u2∈Ｃ∧∞(Ｒ)はＣ Ｒ)で一次独立であることを示せ (u1(t),u2(t))=(e∧(λ*t),e∧(μ*t)) 一問でも全然構わないのでよろしくお願いします。

よろしくお願いいたします。 【記号の説明】 定数 c については、c^(-λ) は「c のマイナスλ乗」を、 変数 x、y, u については １ y^(n)などは y のn階微分を、 ２ x^《n》はxのｎ乗を、 それぞれ、あらわします。 同書からの引用部分は『・・・』で示してあります。 「容易に階数降下のできる高階常微分方程式」という節の中に「同次形（の常微分方程式)」の項目があります。 『（λを定数として）、 x,y について同次形 (*) c^(-λ)F(cx,cy,y',c^(-1)y",...,c^(1-n)y^(n))= F(x,y,y',...,y^(n)) のときは、c=1/x とおけば、 (**） f(y/x,y',xy",...,x^《n-1》y^(n))=0 の形になる。そこで、ｙ=xu とおくと、y'=xu'+u, y"=xu"+2u',...,一般にライプニッツの公式で y^(k)=xu^(k)+ku^(k-1) で、ゆえに、x^《k-1》y^(k)=x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)となり、ｘ についての同次形、すなわち(***)の場合（下記）に帰着された。』 x^《k-1》y^(k)=・・・までは分かるのですが、それから直ちにｘ についての同次形と結論できるのが、どうしても分かりません。(**)の左辺に、y, y', y", x^《k-1》y^(k), の右辺や、x=1/c を代入して、なんとか(***)が成立することを示そうとしたのですが、うまくいきませんでした。 なお、ｘ についての同次形というのは （***）c^(-λ)F(cx,y,c^(-1)y',...,c^(-n)y^(n))= F(x,y,y',...,y^(n)) が成り立つことを言います。 どうぞよろしくお願いいたします。

２階線形同次微分方程式について。 解が複素解の場合の質問です。 複素解λ1，2をもつ時、一般解は、Z(X)=Ｃ10ｅ^λ1x＋Ｃ20ｅ^λ2x　となり、これを整理すると、 y(X)＝e^(-ax/2)[Ｃ1cos(√(―a^2+4b)x/2)+Ｃ2sin(√(―a^2+4b)x/2)] となるとのことです。そこで、教科書にＣ1＝Ｃ10+Ｃ20の実数部分　　Ｃ2=iＣ10-iＣ20の実数部分 と書いてあります。 この実数部分とはどういうことなのですか？ なぜ実数部分なのですか？ よくわかりません。 どうぞよろしくお願いいたします。 どうぞよろしくお願いいたします。

いつもお世話になっております。 流体力学のグリーン関数の導出、式(2)についてご指南願います。 図1に示すようにZが水面より下でζより大きい場合は領域I、ζより小さい場合に領域IIとした時に 領域Iで成立する解をG1、領域IIで成立する解をG2、全領域で成立する解をGとした時に 式（２）’の導出がどうしても分かりません。 （領域Iでは式(１)と(２)、領域IIでは式(１)と(３)を満たす） なお、G1とG2はそれぞれZ＝ζを含まないので式(1)の右辺のδ関数のところはゼロとし計算できる為、2階線形常微分方程式により未定係数を2個含んだ一般解として式(1)'が求められます。(ここまでは自力で計算できました） 式(2)では変数分離法を使いG1を求めましたが解が式(2)'の様になりませんでした。 どなたか分かる方は導出方法について教えて頂けますでしょうか。

数値計算の演習問題で以下の二階微分方程式をルンゲ・クッタで解けという問題があります。 -y"+x^2・y=e・ｙ（eは定数、”・”は単なる掛け算） y(0)=1, y'(0)=0, 0<=x<=2までを計算せよ。 これは ｙ’=z・・・(1) 　 z'=(x^2-e)y・・・(2) この２つの連立方程式を解けばよいところまではわかります。 まず(2)を解くときにルンゲ・クッタの場合 (k1+２k2+２k3+k4)/6の項（←公式の右辺第二項）のｋ（1～4）を求めなければいけません。 質問はｋの求め方です。 本にはy'=f(x,y,z) , z'=g(x,y,z)とおけば (2)の場合だと例えばk1は k1=g(xn,yn,zn)ｄｘで計算する。と書いてあります しかしz'=(x^2-e)y（←ｚが入ってない）　なので、計算すると k1=g(xn,yn)ｄｘとなってしまうんですがどうなんでしょう？ おそらくどこかで勘違いしてると思うんです。 長い質問になってしまいましたがどうかご教授のほどよろしくお願いします。

大学１年の者です。 物理演習で、初めて微分方程式を扱っているのですが、問題の途中でよく分からないところがありました。 問題は以下のようなものです。 自然長ｌ、ばね定数ｋの二本のバネと質量ｍのおもりを１個用意して、 下から、地面・ばね１・おもり・ばね２・手の順につなげた装置を作る。 バネ１が自然長になるときを初期状態とし、その状態を基準に おもりの位置ｘ、手の位置ｙを定める。（上向き正） 一定の速度ｖで引き上げる（ｙ＝ｖｔ）とき、 おもりの運動方程式をたててそれを解き、x(t)を求めよ。 これを、次のように考えました。 運動方程式は　mx"=k(y-2x)　だから、（x"はｘの二階微分） y=vtを代入して整理して、　x"+(2k/m)x=(kv/m)t　（１式） このような形になったら、まず右辺が０のとき（同次式？）のｘを求めるといいらしいので そうすると、A,Bを任意の定数として x=AsinBt　（t=0のときx=0だからsinにした） また、右辺が０でないとき（非同次、特殊解？？） x=(v/2)t　で１式が成り立つので、 「同次式での一般解と特殊解の和が解になる」らしいので x=AsinBt+(v/2)t　とおける。 ここまでは出来たのですが、定数Ａ・Ｂが求められません。 ただバネを引くだけなので、Ａ＝０になるのでは、とは思うのですが… （Ａ≠０なら、おもりは上下に揺れながら上る？） 初期条件は任意のＡ・Ｂで成り立つし… もしここまでの過程が合っていたら、定数の出し方のヒントをお願いします。 間違いがありましたら、教えてください。 分かりにくい長文ですみませんが、よろしくお願いします。

最小二乗法では二乗和の誤差 Σ[i=1～n]{Yi-(α+βXi )}^2 （iは添え字です） を最小化するα,βを推定することを考えますが、 これは単純にα,βで偏微分してそれを0とおいて 連立方程式を解くだけでよいのですか？ といいますのも、2変数関数の極値を求める場合、 Hessianを計算して判別しますよね？ ただ一階偏導関数が0になるからといって、 そこで極値をとるとは限らない気がしたので… それとも最小二乗法の場合は必ずとるようになっているのでしょうか？ 手元の本には、 「この二乗和は非負値なので、αとβで偏微分したものを0とするα,βが上式を最小にする値である」 とあるのですが、一般に非負値だとこの ようなことが言えるのでしょうか？

僕は工学部の学生ですが、大学受験から反省してるのですが数学を理解しようとしてるのですがどうしても「道具」として利用してしまいます。例えば定数係数の二階線形微分方程式で一般解を求めるのはa^2>4bのときはｙ＝c1e^p1x+c2e^p2x という公式を利用して中学生でも簡単に答えが出せます。本当はこれらの式を証明できなければ大学生とはいえないのでしょうが僕は証明を学ばず公式を利用して簡単に一般解だけ求めてしまいます。線形代数でもテストの答えを求めるのは簡単だけどなぜその式になるのかがわからず数学を理解してません。先生に話したら工学部の学生はそんなこと考えなくていいと言われました。皆さんは数学という学問を理解できてますか？

答えに自信が持てません、アドバイスをお願いします。 y´´+y´-2y=e^x+xの微分方程式ですが、 これを２階非同次線形ay´´ + by´ + c = r(x)の解法で解いたところ、 特性方程式より t^2+t-2=0 , (t+2)(t-1)=0 ,t=-2,1　(2個の実数解) 一般解はC1e^(-2x)+C2e^(x) 2個の実数解の時、特異解は　ay´´ + by´ + c = r(x)　,　t=α,βとして 1/｛a(α-β)｝{e^(αx)∫e^(-αx)r(x)dx　-　e^(βx)∫e^(-βx)r(x)dx}なので、α=-2,β=1として代入し、 -1/3{e^(-2x)∫e^(2x)(e^x+x)dx　-　e^(x)∫e^(-x)(e^x+x)dx} =-1/3[e^(-2x)｛(1/3)e^(3x)+(1/4)e^(2x)・(2x-1)}　-　e^(x){x+e^(-x)・(-x-1)}] =-1/3[(1/3)e^x+(1/4)(2x-1)　-　{xe^x-x-1}] =-1/3[(1/3)e^x+(2x/4)-1/4　-　xe^x+x+1] =-1/3[(1/3)e^x+(3x/2)+3/4-xe^x] =-1/36[4e^x+18x+9-12xe^x] ∴C1e^(-2x)+C2e^(x)-1/36[4e^x+18x+9-12xe^x] でいかがでしょうか？

お世話になります。　 すいません、下記についてご教示頂けましたら幸いです。 y=5g''(x)/g(x) z=k　　（但し、k　は、０　以外） で、 y=ｚ とき、この解は、 E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])*C[1] + C[2]/E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5]) です。 yは２階の微分方程式ですが、更に、yに何らかの変換と 言うのか、操作と言うのかを作用させて高階にした場合 、同じ解 E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])*C[1] + C[2]/E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5]) は、簡単に得られるでしょうか？ （答えを見ながら、操作して解を得るのは駄目です。） 例えば、yを、単純に ｙ’　や　y'' しても　 ｙ’=ｚ や　y''=ｚ　にした場合 解は、違ってくると思いますが,如何でしょうか？

はじめまして。 もしよろしければ回答方法やどんな些細なきっかけでも助かるのでよろしくお願いします。 壁｜～～～～○～～～～｜壁 　　　バネ 粒子　バネ 質量ｍの粒子の左右にバネ定数Kのバネを連結しており、それぞれのバネの一端を壁に固定しています。 ２つの壁間の距離はLである。 必要ならばバネの自然長aを用いてよい。重力は考えなくてよい。 (1)今右側の壁の位置がバネの方向に、振幅E、各周波数ωの余弦関数に従って単振動し始めた。 粒子の運動方程式を示せ。 ただし、粒子の座標ｘは左壁から測るものとする。 (2)次に得られた方程式を元のつりあいの位置ｘ=L/2からの変位uに関する方程式に書き直してから、定常状態における粒子の運動状態をもとめよ。 すなわち、粒子の位置を時間の関数として示せ。 という課題が学校の講義で課されました。 私が考えたのは、壁の単振動が x=Ecos(ωt+φ) としてtで２階微分して壁の加速度を出しました。 しかしこの先から分らなくなりました。 壁が動くという問いは初めてなので、混乱しています。 皆さんお忙しいとは思いますが何卒よろしくお願いします。

あるサイトを参考に次の様な流れでラプラスの方程式の球面座標表示を導きたいのですが 途中の式が間違っているのか、最終的な式が導けません。 特に下の3の手順で私の式のやり方が間違っているのかもしれません。 正しいかどうかご指摘くださる方、よろしくお願いします。 >は自分のコメントです。 r=r(x,y,z)，θ=θ(x,y,z)，φ=φ(x,y,z) x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ まず，これらの式から １．r^2，tanθ，tanφを計算． > r^2 = x^2 + y^2 + z^2 > tan^2θ = (x^2+y^2)/z^2 > tanφ = y/x ２．１を偏微分することによって∂r/∂x,∂r/∂y,∂r/∂z,∂θ/∂x,∂θ/∂y,∂θ/∂z,∂φ/∂x,∂φ/∂yをすべてx,y,zで表現．あとでこれらの２階偏微分も必要になるが． >∂r/∂x = sinθcosφ, ∂r/∂y = sinθsinφ, ∂r/∂z = cosθ >∂θ/∂x = (cosθcosφ)/r, ∂θ/∂y = (cosθsinφ)/r, ∂θ/∂z = -sinθ/r >∂φ/∂x = -sinφ/(r*sinθ), ∂φ/∂y = cosφ/(r*sinθ), ∂φ/∂z = 0 ３．∂/∂x＝∂/∂r・∂r/∂x＋∂/∂θ・∂θ/∂x＋∂/∂φ・∂φ/∂x これをさらに偏微分して∂^2/∂x^2を偏微分の記号で表現． ちょっとしんどいですがガッツ． 同様に∂^2/∂y^2，∂^2/∂z^2も計算． >この∂^2/∂x^2, ∂^2/∂y^2，∂^2/∂z^2は単純に >(∂/∂x)^2＝(∂/∂r・∂r/∂x＋∂/∂θ・∂θ/∂x＋∂/∂φ・∂φ/∂x)^2 >(y, z同様)と計算しては間違いでしょうか？ ４．∂^2/∂x^2＋∂^2/∂y^2＋∂^2/∂z^2を偏微分記号の表示のまままとめる． ５．２で求めたものを代入．すると意外に綺麗にまとめれるものが出てくる． >最終的に出た式 >∂^2/∂r^2+∂^2/(r^2∂θ^2)+∂^2/(r^2*sin^2θ∂φ) >求めたい式は >∂^2/∂r^2+2*∂/(r∂r)+∂^2/(r^2∂θ^2)+∂/(r^2*tanθ∂θ)+∂^2/(r^2*sin^2θ∂φ) >です。 >自分で導いた式と比べると、2*∂/(r∂r)+∂/(r^2*tanθ∂θ)が欠けています。

水素型原子の動径波動方程式 －ħ^2/2μ (d^2 u)/(dr^2 )+{－(Ze^2)/(4πε r)+ (Ｌ(Ｌ+1) ħ^2)/(2μｒ^2 )－E}u=0 　　　　　　　－－－－－－ 　　　　　　　uの二階微分 u=rR Rは動径波動関数 μは換算質量 Lは方位量子数(分かりやすいように大文字にしました) (Ｌ(Ｌ+1) ħ^2)/(2μｒ^2 )は遠心力ポテンシャルの項 －(Ze^2)/(4πε r)はクーロンポテンシャルの項 上記の方程式において原子核近傍(r→0)での近似解u(またはR)を求めよという問題がありました。 Lが0でないときは、1/r^2の項以外は小さいので無視でき、 解をu＝ｒ＾sと仮定して解いていくことができるので、その結果 s=L+1 or -L を得て、 物理的に許される解がu=r^(L+1) となることは分かりました。 しかし、Lが0のときについては、遠心力ポテンシャルの項(1/r^2の項)が消えてしまい、クーロンポテンシャルの項が無視できないと思います。 参考書を探してもこの時の解法が見つからなかったので、 解法が分かる方がいらっしゃったら教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

2階線形常微分方程式 (x^2 y')' = -x^2 を解くと、両辺を x で積分して x^2 y' = -x^3/3 + C 両辺を x^2 で割って y' = -x/3 + C/x^2 ... (b) 両辺を x で積分して y = -x^2/6 - C/x + D ... (a) となります。 ここで初期条件 y(0) = 1, y'(0) = 0 だと y = -x^2/6 + 1 になるらしいのですが、(a) で y(0) = 1 とおいて D について解こうと思っても、 y(0) = -C/0 + D = 1 と分母が0になってしまい計算できません。 (b) y' = -x/3 + C/x^2 の場合も同様で、 y'(0) = C/0 = 0 となってしまいます。 このような場合はどうやって積分定数 C, D を求めればよいのでしょうか？ 解き方が間違っていますか？ ご教示ください。よろしくお願いします。

二階線形常微分方程式の非斉次の問題について教えてください。 y"-4y'+3y=e^t,y(0)=0,y'=(0)=0 λ=1,3 (C1)'e^t+(C2)'e^(3t)=0 (C1)'e^t+3(C2)'e^(3t)=e^t これより (C1)'=-1/2 (C2)'=(1/2)e^(-2t) C1=-(1/2)t C2=-(1/4)e^(-2t) 特別解は C1e^t+C2e^(3t)=-(1/2)te^t-(1/4)e^(-2t) 一般解は y(0)=C1+C2=0 y'(0)=C1+3C2=0 より C1=C2=0 y(t)=0 特別解+一般解より最終的な解は C1e^t+C2e^(3t)=-(1/2)te^t-(1/4)e^(-2t) と出たのですが、こたえは -(1/2)te^t+(1/4)e^(3t)-(1/4)e^(-2t) です。 どこが間違っているのか教えてください。

一階微分方程式を解いたのですが、検算であいません。どこがおかしいのでしょうか？ （d/dx-n/x+1/n）y=0 ⇔dy/dx=(n/x-1/n)y ⇔1/y dy/dx=n/x-1/n (ｙで割って、変数分離) ⇔∫dy/y = ∫(n/x-1/n)dx　(xで積分) ⇔Log(y) = nLog(x)-x/n+c (cは定数) ⇔y＝c' exp(n) xexp(-x/n)　（c'＝exp(c)） yは求まります。しかし検算すると、 dy/dx ＝c' exp(n) exp(-x/n)-c'/n exp(n) xexp(-x/n) となり、 (n/x-1/n)y＝(n/x-1/n)c' exp(n) xexp(-x/n) 　　　　　＝c' exp(n){nexp(-x/n)-1/n xexp(-x/n)) ＝c' exp(n) nexp(-x/n)-c'/n exp(n) xexp(-x/n) となって、n倍異なる部分があります。どこが間違いなんでしょうか？私はまったく矛盾に気が着ませんが、間違っているように見えます。どなたか知恵を貸してください。

二階の常微分方程式をプログラムをつかって数値的に解きたいのですが 初期条件をいれるとk1の分母が０になってしまうばあい，どのように計算すれば良いかわかりません．どのように通常解くのかおしえていただけませんか？ 具体例として y''=((y')^2+1)/sin(arctan(y')) 初期条件 y(0)=C1(定数） y'(0)=0 k1=0.5*h*f(xn,yn,yn') k2=0.5*h*f(xn+0.5h,yn+K,yn'+k1) (ここでK=0.5h(yn'+0.5k1)) k3=0.5*h*f(xn+0.5h,yn+K,yn'+k2) k4=0.5*h*f(xn+h,yn+L,yn'+2k3)　　(ここでL=h(yn'+ｋ３) ｋ１の値を計算すると分母が０になるので計算できません． どうぞ宜しくお願いします. ちなみにy'(0)=0.001など小さい値をいれてみても途中の計算で発散してしまいます．

雨滴落下の終端速度の問題です。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ d^2x/dt^2＋adx/dt＋bx=f(x) （a,bは定数）…(1) dv/dt＋bv/m=g（b.g.m.は定数）…(2) 非斉次の１階線形微分方程式(2)の一般解は、ひとつの特殊解（終端速度での等速直線運動を表す解）と非斉次項を０とおいた dv/dt＋bv/m=0 の一般解 v=Ce^-bt/m (Cは任意定数)の和 → d/dt（Ce^kt）=k(Ce^kt)を使った v=mg/b＋Ce^-bt/m である。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ というのが与えられて、 （１）t=0,初速度V＝０ （２）t=0,初速度V＝V0(>mg/b) の場合を定系非斉次線型で解けという問題です。 問題の意味がよく分かってないので、問題になってないかもしれませんが、 この方法で雨滴の落下速度と終端速度を求めて頂きたいです。 できるだけ丁寧に書いて頂けると幸いです。おねがいします。 .

次の2階非斉次線形微分方程式の一般解を求めよ。 (d^2 y)/(dx^2) - 4x dy/dx + 4(x^2)y = e^(x^2) ・・・という問題で、 （※下記の j は虚数の i と読み替えてください） 　　　　　v = e^(x^2) 　　　　　(d^2 u)/(dx^2) + 2u = 0 u = d^(λx)とおいて、 　　　　　λ^2 + 2 = 0 　　　　　λ=j√2, -j√2 よって、独立解は 　　　　　e^(j√2), e^(-j√2) y = uvであるから 　　　　　y1 = e^(x^2) * e^(j√2x) 　　　　　　　= e^(x^2) cos √2x　　　　　　　　　　←？ 　　　　　　　　　　： ・・・と書いてあるのですが、オイラーの公式で 　　　　　e^(j√2x) = cos √2x + j sin √2x なので、 　　　　　y1 = e^(x^2) * e^(j√2x) 　　　　　　　= e^(x^2) { cos √2x + j sin √2x } じゃないんですか？ なぜ、j sin √2x が消えているんですか？ (ちなみに、y2 は -j も消えて y2 = e^(x^2) sin √2x になっています・・・) どうか教えてください。お願いします。