体の同一視について

質問

可換環について勉強していて，

『R[x]を実数係数のxの多項式全体の集合として，剰余環R[x]/(x・ｘ+1)と，複素数全体がなす体Cが同一視できる』

とあるのですが，『同一視』という意味がよくわかりません．何を示せば『同一視』と言えるのか教えてください．

回答No.3

adinat · ベストアンサー

横レスですが。

環R[x]/(x^2+1)というのは多項式環でx^2=-1としなさい、というものです。このx^2+1=0というのがかなりヒントになります。多項式環を2次式で割っているから、この環の元は1次式（と厳密には0次式も）全体で代表されます。

たとえば
(3x+2)×(4x+7)=12x^2+29x+14=-12+29x+14=29x+2
となります。そこで
ax+b⇔a√-1+b
という対応を考えればこれが全単射になることは明らかです。問題は環準同型になるかどうかですが、それもx^2=-1と(√-1)^2=-1ということからすぐにわかります。
R[x]/(x^2+1)は体ですから、この環準同型は実は体の同型ということになり、1対1対応がいえたことになるというわけです。

お礼

詳しい説明ありがとうございました．
例題を示して頂いて，とてもわかりやすかったです．

回答No.2

keyguy

方法はありませんか？:

その剰余環が体になることを示し
その剰余環と複素数の互いの元が１：１に対応することを示す。

お礼

何度も回答してくださってありがとうございました．
勉強になりました！

補足

なるほど，同一視とは1対1対応が言えればいいわけですね！ただ，剰余環が体になることはわかるのですが，1対1対応をどうしても示すことができません．この点について教えて頂けませんか？

回答No.1

keyguy

同型写像が存在すると個とを証明したらいいのでは？

補足

『同型写像』という考え方の他に方法はありませんか？これまで勉強し，この疑問が出てきた時点で『同型写像』というものは出てきておらず，まだよくわかりません．可換環や体についで勉強したばかりなもので！お願いします！