再就職先で社会保険に入ることになり、任意継続は喪失になります。
手続きは新しい会社に保険証を渡すか、若しくは新しい保険証ができてきてから、社会保険事務所に自分で手続き(任意継続の保険証を返し、新しい保険証の番号と資格取得年月日を連絡する。)することになります。
ANo.2の方の回答で、
>・任意継続の有効期間は
> 基本的には、○/11~○/10ですので、再就職日が11日迄なら
> その月の任意継続の支払は不要です
と、ありますが基本は、社会保険(健康保険や年金任意保険も含みます。)の保険料は月単位で計算します。10/10までに納めた保険料は10月分の保険料ですが、資格期間は、翌月の保険料の納付期日までということになります。
> 再就職日が12日以降ですと、その月の保険料を納入しないと
> 無保険の状態が発生します
また、10/21から再就職ということになれば、10月分の保険料は再就職先から納付される事になりますから、10/10までに納めた任意継続の保険料は戻ってきます。(重複することは基本的にありません。)
> この場合、保険料が、重複しますが返還はありません
> (月途中から加入、月途中で脱退共に1月分徴収です)
↑これは、任意継続に加入したがすぐ再就職先が決まったりで加入した月と同じ月に任意継続をやめる場合は1ヶ月分保険料が係るということだと思います。