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- ノイマン変形の導出
ノイマン変形の導出 アルフケン、ウェーバー物理数学Vol.3を独学しているのですが、ノイマン関数の式変形についてわからない部分があります。 添付画像の式(2.61)から式(2.63)が導出されるとのことですが、 1. 階乗関数の相補公式の使うところ 2. ln(ν!)の微分を使うところ 3. ロピタルの定理でf(x)とg(x)はそれぞれどういう式にしているのか? などが分かりません。 式2.63までの導出を教えていただければありがたいですが、途中のヒントなどでも教えていただけると幸いです。 自分で変形しようとしたところ、式2.61のうち(x/2)^νをg(x)として、その微分をとれば(x/2)^ν(lnx - ln2)となる 部分はなんとなく分かりますが、f(x)の方は{(v-1)!/π}の微分をとらないといけないようになり、 ガンマ関数の相補公式を用いてもf(x)=-1/{sinπν/(-ν)!}のようになり、やはりわかりません。 よろしくお願いいたします。
- 複素積分による距離の逆べき乗型関数のフーリエ変換
複素積分による距離の逆べき乗型関数のフーリエ変換 次の積分が解けずに困っております ∫(exp(i(k・x))/r^a)dx i:虚数単位 n,a：自然数 k=(k1,k2,…,kn)∈R^n x=(x1,x2,…,xn)∈R^n k・x=k1x1+k2x2+…+knxn r=√(x1^2+x2^2+…+xn^2) dx=dx1dx2…dxn 積分領域：R^n全体 この積分が，関数1/r^aのn次元フーリエ変換 （kは逆符号ですが）であることはわかるのですが， nやaが一般の自然数なのでどうしたものかと考えています 数学的帰納法かなにかで求めるのでしょうか 大学の複素積分の講義で出題された課題なので， 留数定理などを利用するのではないかと思うのですが， だとしても分母が有理関数ではなく無理関数なので， 特異点での留数の値の求め方からすでに手が止まってしまいます 以上のような考察だけならできたのですが，そこから先に進めません 非常に一般的で有用な公式のようにも思えたので文献を漁りましたが， 調べ方が悪かったせいか，それらしきものは全く出てきませんでした 計算の一部始終を示していただけるならもちろん，そうでなくとも 何かヒントとなりそうな記事を教えていただけるだけでもありがたいです 初歩的な質問かもしれず恐縮ですが，よろしくおねがいいたします