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ポテンシャルがある場合のシュレディンガー方程式について。 画像参照。。。。 単純に代入したら、２階微分でなくて２乗になりませんか？

微分方程式 dy/dx-2xy=2xy~2 について。 (1)z=1/yとするとき、z=z(x)が満たす微分方程式を求めよ (2)(1)で求めたzに対する微分方程式の一般解を求めよ (3)yの一般解および特殊解を求めよ という問題があります。 これは教科書にあるような、微分方程式の公式を用いて解くのでしょうか よく分からないので詳しく教えてください。

剛体振り子の問題 下図に示す、1辺の長さa、質量Mの一様正方形板の1頂点を回転軸受で支持した剛体振子の固有角振動数は？ ただし、正方形板の振れ角θは小さく、sinθ≒θとみなすことができ、gを重力加速度の大きさとする。 答え：1/2√（（3√2g）／a） どなたか解説お願いします。

物理系大学の問題です。 (1) vT-1/2gT~2 = h (2) vT+1/2gT~2 = h この二つの式をそれぞれニュートンの法則を使って導出せよ、 という問題です。 どうしてもわかりません。 わかる方、解説お願いします！！

１匹のハツカネズミがリング形の円形籠内に入れられている。籠は通路で連結された３つの仕切り１，２，３をもっている。ハツカネズミは１時間に２回、仕切り１から仕切り２へ行き、１から３へ４回行く。また、２から１へ６回、２から３へ４回行く、最後に３から１へ３回、３から２へ１回行くことが実験的に長期にわたり観察されている。ハツカネズミはt=0で仕切り１にいることが観察された。１５分の終りに、ハツカネズミが仕切り１にいる確率はいくらか。 連続マルコフ過程に対する微分方程式は dP1/dt=-6P1+6P2+3P3, dP2/dt=2P1-10P2+P3, dP3/dt=4P1+4P2-4P3 で、 定常状態確率は平衡方程式をといて、P1(∞)=3/8,P2(∞)=1/8,およびP3(∞)=1/2となる。 ここまでは理解できますが、これから先が良く解りません。 係数行列の特性根はつぎの方程式を満たす： {{-6 - r, 2, 4},{6, -10 - r, 4},{3, 1, -4 - r}} = 0　 これよりr=0,-8,および-12が得られる。 この辺りの計算の仕方は出来ますが、以降不明な事ばかりです。 それゆえ、過程に対する微分方程式の解はつぎの形をとる： P1(t)=3/8+A1e^-8t +A2e^-12t P2(t)=1/8+B1e^-8t +B2e^-12t P3(t)=1/2+(-A1-B1)e^-8t +(-A2-B2)e^-12t この式はどの様な導出過程から現れるのかお教え下さい。 第３方程式の係数は、すべてのtの値に対し、P1(t)+P2(t)+P3(t)=1を満たすようでなければならないことに注意せよ。 もし、P1(t),P2(t),およびP3(t)に対するこの解を、いま３微分方程式のどれかの１つに代入する、たとえば、初めの式に代入すれば、定数間のつぎの関係式が得られる： -8A1e^-8t -12A2e^-12t = -6A1e^-8t -6A2e^-12t +6B1e^-8t +6B2e^-12t +3(-A1-B1)e^-8t +3(-A2-B2)e^-12t この関係式の具体的な導出過程をお教え下さい。 それゆえ、e^-8tとe^-12tとの係数を等しく置くと、つぎの２つの方程式が展開される： -8A1=-6A1+6B1-3A1-3B1 -12A2=-6A2+6B2-3A2-3B2 そこで、B1=A1/3およびB2=-A2が得られる。 何故e^-8tとe^-12tとの係数を等しく置くと２つの方程式に出来るのか具体的な導出過程をお教え下さい。また、何故e^-8tとe^-12tとの係数を等しく置く事が良いのかお教え下さい。 他の２方程式に代入しなくて、１つの微分方程式に代入するだけで十分である。これは理論から示唆されていた。もちろん、その理由は、３定数がすでに定常状態値として決定されているということである。そして、これらの値は系を満たす。 そこで、この特殊なマルコフ過程の微分方程式の解は、 P1(t)=3/8+A1e^-8t +A2e^-12t P2(t)=1/8+A1/3 e^-8t -A2e^-12t P3(t)=1/2-4A1/3 e^-8t である。 任意の定数の正しい個数がいま存在し、これらの定数は、初期条件P1(0)=1,P2(0)=0,P3(0)=0から、1=3/8 +A1+A2,および0=1/8 +A1/3 -A2を満たすように、決定されなければならない。これらより、A1=3/8およびA2=2/8が得られる。 A1=3/8、A2=2/8は式を計算して求める事は出来ますが、どの様な事を言っているのか解りません。お教え下さい。（この初期条件を代入するなりした？その導出過程を丁寧に示して下さい。） 微分方程式と境界条件を満たす最終解は P1(t)=3/8+(3/8)e^-8t +(2/8)e^-12t P2(t)=1/8+(1/8) e^-8t -(2/8)e^-12t P3(t)=1/2-(1/2) e^-8t である。そこで、ハツカネズミが、t=1/4において１にいる確率は P1(1/4)=3/8+(3/8)e^-2 +(2/8)e^-3 =(1/8)3e^3+3e+2/e^3で約0.44である。 最後は単に数値を代入しているだけのようなので解ります。

(∂u/(∂x∂y))-u=0 答えは、 u=c*exp[k*x+y/k] だそうです。 x*(∂u/(∂x∂y))+2*y*u=0 答えは、 u=c*(x^k)*exp[-(y^2)/k] だそうです。 それぞれ解き方を教えてください。 お願いします。

微分方程式を解く問題の中に x''=αｘ　(α>0) という問題があり、２階微分を使えば良いとおもったのですが解答の仕方がさっぱりわかりません。 どういう風に解答すればいいのか教えてください。お願いします。

三角関数（たとえばf(x)=sinxとか）の連続性を証明したいんですけど、一週間くらい悩んでてもなかなか思いつかなくて・・・ 問題的に、 微分可能⇒連続 を使うのではなく、ε-δ論法で示すってことだと思うんですけど。 いちおう自分の力で示したいので、解答ではなくヒントを教えてもらいたいです。

物理の問題なのですが、どこから手をつけていいのか全く分かりません。どなたか答えてもらえたら幸いです。 問:定点からの距離に比例する引力をうけ一平面内を動く質点の運動を直角座標を用いて調べよ. その軌道は定点を中心とする楕円になる事を示せ.

常微分方程式の一般解についての質問です。 d^2y/dx^2+(dy/dx)^2+4*x*dy/dx+(2x)^2+2=0 の一般解を求める問題なんですが、y=exp(λx)とおくと、 (dy/dx)^2の項だけexp(λx)が残ってしまい特性方程式が立てられません。 こういった問題は、何か他のやり方があるのでしょうか?? この問題は解答がなく、参考書などで調べたのですが、この類の問題が載ってなかったので、 やり方を教えていただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。

1.次の微分方程式を解け。 （1）y''+2y'+y=3sin2x 同次微分方程式の一般解はu(x)=(C₁+C₂x)exp(-x) と求められるのですが、非同次微分方程式の特殊解u₀(x)が求められません。 どうやって求めればいいのでしょうか。 (2)y''-5y'+6y=x(exp(x)) 非同次微分方程式の特殊解u₀(x)はどうやって求めたらいいのでしょうか。 2.置換積分によって、次の定積分を求めよ。 1.∫[0→π/2]　1/(1+cosx)dx tanx/2=tと置いた後、どうすればいいのでしょうか。 2.∫[0→a] x^2（√a^2-x^2）dx(a>0) x=asintとおくと、dx=acost dt .∫[0→a] x^2（√a^2-x^2）dx=∫[0→π/2]　a^2sin^2t*acos^2t dt このあとどうすればいいのでしょうか。 お願いします。

物理学の本からの抜粋です。 「たがいに等しい一様な２つの棒、Ａ，Ｂ（長さ２a，質量Ｍ）が、滑らかに連結されていて、滑らかな水平面の上に一直線に横たえてある。棒Ｂの自由端をちょうつがいでとめ、棒Ａの自由端に、棒に直角に水平な衝撃力Φを与えたとき、その瞬間、棒はどのように動くか。また、そのとき連結点における抗力の力積は何ほどになるか」 答えが分からなくて困っています。どなたか教えていただけないでしょうか。

超越関数Eiを使う方程式について Ae610様やaquatarku5様の方法に従い考えてみました。 土、日とこの問題のことばかり考えています…助けて下さい。 x^2y''-5xy'+8y=e^x に対して、x=e^tとしてtによる微分方程式を求めると、 y' = dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = y'e^(-t) y''= dy'/dx = (dy'/dt)/(dx/dt) = e^(-2t){y''-y'} 与式に代入して、 e^(2t)e^(-2t){y''-y'}-5e^ty'e^(-t)+8y=e^e^t, y''-6y'+8y=e^e^t…(1) 特性方程式より、z^2-6z+8=0,z=4,2 (1)を同次式とした場合の解はy = C1e^(4t)+C2e^(2t) これに対し、y''-6y'+8y=e^e^tの解をy = Ae^(4t)+Be^(2t)として求める。…(2) ここでhttp://www.osakac.ac.jp/labs/mandai/writings/De-03m2.pdf http://okwave.jp/qa/q5832858.htmlを参考にします。 y'={A'e^(4t)+A4e^(4t)} + {B'e^(2t)+B2e^(2t)} A'e^(4t)+B'e^(2t)=0とすると…(3) y'=A4e^(4t)+B2e^(2t) y''={A'4e^(4t)+A16e^(4t)} + {B'2e^(2t)+B4e^(2t)} これらを(1)に代入して、A'4e^(4t)+B'2e^(2t)=e^e^tを得る…(4) (3)と(4)を連立させて、A'=e^e^t/2e^(4t) , B'=e^e^t/-2e^(2t) を得る。 A=∫　e^e^t/2e^(4t) dt、ここでe^t=Zとして、 ∫　e^z/(2z^4)・1/z dz = 1/2∫ e^z/z^5 dz 部分積分を反復して、-1/48{e^z(6/z^4+2/z^3+1/z^2+1/z)-Ei(z)}+C1を得る。(Cは積分定数) zにe^tを代入してA=-1/48{e^e^t(6/(e^t)^4+2/(e^t)^3+1/(e^t)^2+1/e^t)-Ei(e^t)}+C1…(5) B=∫ e^e^t/-2e^(2t) dt、ここでe^t=Zとして、 ∫　e^z/(-2z^2)・1/z dz = -1/2∫ e^z/z^3 dz 部分積分を反復して、1/4{e^z(1/z^2+1/z)-Ei(z)}+C2を得る(Cは積分定数) zにe^tを代入してB=1/4{e^e^t(1/(e^t)^2+1/e^t)-Ei(e^t)}+C2…(6) (2)(5)(6)よりy=Ae^(4t)+Be^(2t) = -1/48{e^e^t(6 + 2e^t + e^(2t) + e^(3t))-e^(4t)Ei(e^t)}＋1/4{e^e^t(1+e^t)-e^(2t)Ei(e^t)}+C1e^(4t)+C2e^(2t) <これが(1)の解> (1)の解に対してe^t=xとすると、x^2y''-5xy'+8y=e^xの解が求められる。 y = C1x^4+C2x^2-1/48{e^x(6 + 2x + x^2 + x^3)-x^4Ei(x)}+1/4{e^x(1+x)-x^2Ei(x)} 以上で如何でしょうか？ かなり長くなりましたので計算ミスが心配です。

レールの上を通る台車が、レール外に飛び出さないよう ストッパーを付けようと考えています。 このストッパーの強度計算について教えてください。 ※3点質問がありますので分かるものだけでも教えてください ＜質問1＞せん断応力の求め方について 　　長さL【mm】、断面積y*t【mm^2】の板（片持ちハリ）の 　　表面積x*y【mm^2】の範囲に力F【kgf】が加わるとき 　　その力が加わっている部位での最大せん断応力は 　　F/（x*y）【kgf/mm^2】でよいでしょうか？ 　　Fの加わる表面積x*yには関わらないでしょうか？ ＜質問2＞衝撃荷重の安全率の考え方 　　重量M【kg】の台車、仮定最大速度V【m/s】とすると 　　　(1)MV - MV' = Ft　より台車が止まるまでの時間t【s】を 　　　　　考慮して衝撃時の荷重を求める。 　　　(2)計算したせん断応力、曲げ応力に安全率１５をかける 　　　　　（インターネット調査、衝撃に対する安全率の値） 　　　(3)許容応力の「一定の大きさの力が一定方向に働くとき」 　　　　　の値にさらに衝撃を考慮し1/2をかける 　　　　　（インターネット調査、鋳鉄の曲げなら420/2） 　　のようにあらゆる部位で衝突を考慮しています。 　　当然(1)～(3)全てを考慮すれば十分なのだと思いますが。 　　　『(1)で衝撃を考慮すれば安全率は15も必要ない』 　　　『(2)で安全率15をかけるのであれば(1)の荷重はM【kg】でよい』 　　　『(1)(2)を考えれば(3)は1/2をかける必要はない』 　　　『そもそも鋳鉄の許容応力420/2に既に安全率15がかかっている』 　　など、どの条件が必須となるのか教えてください。 ＜質問3＞衝突荷重時のkg→kgfの考え方 　　重量M【kg】の台車が衝突する時の単位の考え方について 　　正しいのはM【kgf】またはM/9.8【kgf】のどちらになるでしょうか？　　

ｘは時間ｔの関数：ｘ（ｔ）であるとする。初期条件をｘ（０）＝１０、ｄｘ/ｄｔ（０）＝０とするとき、次の微分方程式の一般解を求めよ。どれが減衰振動で、どれが臨界減衰の解に対応するか。 １、ｄ＾２ｘ/ｄｔ＾２＋２ｄｘ/ｄｔ＋４ｘ＝０ ２、ｄ＾２ｘ/ｄｔ＾２＋５ｄｘ/ｄｔ＋４ｘ＝０ ３、ｄ＾２ｘ/ｄｔ＾２＋４ｄｘ/ｄｔ＋４ｘ＝０ 解き方が分かりません。 教えてください。

微分方程式に関する質問です。 y"+ay'+by=Q(x) について、Q(x)が多項式、三角関数、指数関数の積である場合(例：2xe^2x, 3xsinx, e^2x cosx)の一般解の求め方を教えて下さい。 質問者は頭が足りない馬鹿ですので、丁寧に回答していただけると助かります。

cos(x)+cos(x+2/5 pi)+cos(x+4/5 pi)+cos(x+6/5 pi)+cos(x+8/5 pi) という与式を演算する問題について この演算結果は0ですが、 ・加法定理を組み合わせて、一つの三角関数にまとめる という方針ではうまく演算できませんでした。 (色々試しましたが、休日一日潰しました) cos(x+4/5 pi){1+2(cos 2/5 pi + cos 4/5 pi)} の形に変形し、ここから、cos 2/5 pi + cos 4/5 pi = -1/2 を利用して求める方法しか思いつきませんでした。 この解法は、どれだけ演算しても答えが導けなかったため、 「かけてゼロになる項目が作れないか」と苦肉の策で探したところ、偶然見つけたものです。 ・加法定理を組み合わせて、一つの三角関数にまとめる という方針をどの段階で捨てるのかが気になるところです。 皆さん、どのあたりでこの方針を排除されるのでしょうか。 また、それはどんな理由からでしょうか。 (頭が硬いので、「計算テクニックとして」「定石だから」という理由はあまり好みではありません。演算の場合、そういう場合が往々にしてあるので、演算自体があまり好きではないのですが…) ※もし、ひとつの関数にまとめた結果答えが出るのでしたら、 その解法をご教授願います。

現在、図のような等分布荷重を支えるブラケットを製作する予定なのですが、反力の算出ができずに困っております。 新機械工学便覧の連続梁の支点反力や、ネット上での連続梁の反力の算出方法等を色々探してみたのですが、R3の位置で梁と荷重が終了しているのであれば、算出できるのですが、はねだし（と呼ぶのかどうかわかりませんが・・・）の部分が、R3地点より右側に存在するため、どのように処理をしてよいものなのかわかりません。 機械工学便覧の支点反力の算出の項から、R1～R3間の2スパンでR2の反力は算出可能なのですが、R3より右側にも荷重があるため、3スパンとして考えるものなのかどうなのかもわかりません。 このような梁の反力の計算をするにはどのようにしたら良いのでしょうか？ 自力でなんとか理解しようと、色々と調べては見たのですが、いよいよ困ってしまい、ぜひ皆様方のお知恵を拝借出来ればと思い質問させて頂きました。 図では記されていませんが、実物はR1部分が回転運動ができる支点となっており、R2,R3部分にかなり強力なスプリングが入り、等分布荷重の部分に断続的に重量がかかるという構造物です。 説明が足りない部分もあるかと思いますが、どうぞお知恵を拝借いただければと思います。 よろしくお願いいたします。

y'-2xy-3(x^2)(e^(x^2))=0 (1)上式が線形であることを示せ。 (2)上式の一般解を求めよ という問題があります。 解き方がまったく分かりません。 分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いいたします！

教えてください。 そもそも自然対数という名が与えられた理由は何なのでしょうか？ 微分積分を考えていると「自然」にでてくるから？ 数学の問題をいろいろと考えているときにさまざまなところに出てきて「自然」だから？ それとも私たちの身の回りの「自然界」にこの対数に従うものが多々あるから？ どうなのでしょうか？ どこかで、「自然界」でよく現れるから自然対数というのだ、という説明を見たような記憶があるのですが、それならば、自然界でよく現れているそのたくさんの実例とは何なのでしょうか？ その説明を見たときには確か示されていなかったように思います。 指数関数や２を底とした対数関数などは菌の増殖などかな、とは思いますが、自然対数となると思い浮かびません。 実例があるのならば何なのでしょうか？教えてください。 以上、 自然対数と名付けられた理由 どこが自然なのか 自然界に現れるならどんな実例があるのか などについて、何か知っていましたら回答よろしくお願いします。 加えて、出典や参考文献、参考サイトなどがありましたらぜひ教えていただければと思います。 回答、お待ちしております。