yoikagari の回答履歴

度数表記の自然数の角度について cosθが有理数になるθを調べています。 おそらく、cos(60°+360°×n)のみ有理数となると考えています。 （この事実ではなく、証明方法に関心があります。） 教えて頂きたいのは、 ・以下の議論に間違いがないか ・cos100°(またはcos80°)が有理数か無理数か ・他に、cos60°のみが有理数であることを示す方法はないか です。 以下、とても長くなります。 時間がありましたらよろしくお願いします。 ２倍角の公式cos(2θ)＝2(cosθ)^2-1から 【補題Ａ】---------------------------------- cosθが有理数⇒cos(nθ)が有理数（nは自然数） -------------------------------------------- であることがわかります。この補題の対偶を考えることにより 【定理Ｂ】---------------------------------- 自然数の角度θに対して、 cosθが無理数⇒θの約数αに対してcosαは無理数 -------------------------------------------- が成り立ちます。 さらに、 cos(180°+ θ)＝-cosθ、 cos(180°- θ)＝-cosθ より、調べるθは1°～89°までで良いことがわかります。 また、cos(180°-θ )とcosθの有理性が一致することもわかります。 cos(-θ)=cosθより、cos(-θ)とcosθの有理性も一致します。 さて、cos72°が無理数であることがわかっています。 定理Ｂより、cos36°も無理数です。 すると、 cos(180°×n + 36°)=cos36°(5n + 1) cos(180°×n - 36°)=cos36°(5n - 1) cos(180°×n + 72°)=cos36°(5n + 2) cos(180°×n - 72°)=cos36°(5n - 2) の４つの式の左辺の値は無理数なので、定理Ｂより、 cos(5n±1)°、coscos(5n±2)°は無理数です。 【補題Ｃ】---------------------------------- 自然数の角度θに対して、 cosθが有理数⇒θは5の倍数 -------------------------------------------- 同様の考え方より、 cos45°が無理数であることがわかっているので、 cos(180°×n + 45°)=cos45°(4n + 1) cos(180°×n - 45°)=cos45°(4n - 1) より、奇数θについては、cosθが無理数であることがわかります。 【補題Ｄ】---------------------------------- 自然数の角度θに対して、 cosθが有理数⇒θは2の倍数 -------------------------------------------- 補題Ｃと補題Ｄから 以降調べる必要がある角度10°の倍角、 10°、20°、30°、40°、50°、60°、70°、80° であり、特に、30°と60°についてはそれぞれcosの値がわかっています。(cos60°は有理数、cos30°は無理数) そこで、10°、20°、40°、50°、70°、80° について調べます。 この6つの角度の最小公倍数（公倍角というべき？）は 2800°で、2800°≡100°（mod 180°）です。 そこで、cos100°またはcos80°が無理数であることが示せれば、 cos2800°は無理数であることがわかり、 定理Ｂから、10°、20°、40°、50°、70°、80° も無理数となります。 これで目標が示せると思うのですが、 cos100°の値を求める方法がわかりません。 cos150°が無理数であることがわかっているので、 定理Ｂよりcos50°やcos10°も無理数ですので、 10°、20°、40°、50°、70°、80°から cos10°、cos50°を除いて同様に考えると、 cos560°≡cos20°に帰着されますが、 今後はcos20°でつまづいてしまいます。 また、例えば、 仮に、89!/60を180で割った余りωが求められれば、 定理Ｂからcosωについて無理数であることを示すだけでよい（ωを求めることの方が難しい？）ように、その他のアプローチ方法も発見できれば嬉しいです。 以前、tanに関する同様の問題についてアドバイスを頂き、 とても参考になりました。その考え方を参考にしながら、 今度はcosについて考えているのですが、 あと一歩のところで辿りつけないでいます。

Henselの補題の証明で質問です。 よろしくお願い致します。 [命題(Henselの補題)] pを素数とするとZ[x]∋f(x)はモニックでdegf(x)≧1とする。 もし,GCD{g(x),h(x)}=1なるモニックなg(x),h(x)∈Z[x] (但し,degg(x),degh(x)≧1, f(x)=g(x)h(x) (mod p) …【1】) が存在するなら g_1(x)=g(x),h_1(x)=h(x), g_k(x)≡g_{k-1}(x) (mod p^{k-1}) (但し,k>1) h_k(x)≡h_{k-1}(x) (mod p^{k-1}) (但し,k>1) f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^k) (但し,k≧1) …【2】 なるモニックの列{g_k},{h_k}⊂Z{x]が存在することを示せ。 という問題です。 [証] kについての帰納法で示す。 (i) k=1の時,仮定【1】よりg_1(x):=g(x),h_1(x):=h(x)と採ればf(x)=g_1(x)h_1(x)と書ける。 そこで (ii) k≧1の時,g_1,g_2,…,g_k,h_1,h_2,…,h_kが【2】を満たすと仮定すると…【3】 GCD{g_k(x),h_k(x)}=1なので、、、 と続く予定なのですが GCD{g_k(x),h_(x)}=1となる理由が分かりません。 『∵【3】(帰納法の仮定)より, g(x)≡g_1(x)≡g_2(x)≡…≡g_k(x)(mod p),h(x)≡h_1(x)≡h_2(x)≡…≡h_k(x)(mod p)となる。 この時,GCD{g(x),h(x)}=GCD{g_1(x),h_1(x)}=…=GCD{g_k(x),h_k(x)}=1』 が言えれば ∃α(x),β(x)∈Z[x];α(x)g_(x)+β(x)h_k(x)=1…【4】(∵某命題). そして今,f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^k) (∵【3】(帰納法の仮定))が成り立っているから, f(x)-g_k(x)h_k(x)=p^kF(x)…【5】. 従って f(x)=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)・1=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)(g_k(x)α(x)+h_k(x)β(x)) =g_k(x)h_k(x)+g_k(x)p^kα(x)F(x)+p^kβ(x)F(x)h_k(x) =g_k(x)h_k(x)+g_k(x)p^kα(x)F(x)+p^kβ(x)F(x)h_k(x)+p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2-p^kα(x)β(x)F(x)^2 =(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2で g_{k+1}:=(x)g_k(x)+p^kβ(x)F(x)、h_{k+1}:=h_k(x)+p^kα(x)F(x) …【6】と置けば g_{k+1}(x)≡g_k(x) (mod p^k) and h_{k+1}(x)≡h_k(x) (mod p^k) (∵【6】). 従ってf(x)-g_k+1(x)h_k+1(x)=f(x)-(g_k(x)+p_kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x)) =(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2-(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))=-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2 ≡0 (mod p^{k+1}) (∵≡の定義), つまり f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^{k+1}). 従って ∀k∈Nに対して, 【2】が成り立つ。 (終) という風に証明に至れるのですが『 』の箇所がどうして成り立つのかがいません。 どうすれば『 』は成り立ちますでしょうか?

法8に関するDirichlet指標全体をX(8)とすると,(i) {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}⊃X(8)となる,(ii) <ρ_4,ρ_8>～Z_2×Z_2 法8に関するDirichlet指標全体をX(8)で表す。f,g∈X(8)に対し掛算fg(a):=f(a)g(a)で定義すると, X(8)は位数4のAbel群となる事を示せ。そして(X(8),・)～Z_2×Z_2 (但し,～は群同型の記号)である事を示せ。 (証) (i) χ_0は単位指標,ρ_4(a):=(a/4),ρ_8(a):=(a/8) (但し,(/)はJacobiの記号)とすると {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}はDC(8)の可換な部分群となる(∵略). そして, (ii) {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}⊃X(8)となる(∵??) つまり,{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}=X(8). この時,{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}=<ρ_4,ρ_8>となる事は「生成された群」の定義より直ぐに分かる。 (iii) <ρ_4,ρ_8>～Z_2×Z_2(={(0mod2,0mod2),(0mod2,1mod2),(1mod2,0mod2),(1mod2,1mod2)})を示せばよい。 ここで(ii)の(∵??)の箇所,つまり法8に関するDirichlet指標全体は {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}以外に無い事と (iii)の箇所で <ρ_4,ρ_8>からZ_2×Z_2への全単射写像fをどのように対応させればいいのでしょうか?

法8に関するDirichlet指標全体をX(8)とすると,(i) {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}⊃X(8)となる,(ii) <ρ_4,ρ_8>～Z_2×Z_2 法8に関するDirichlet指標全体をX(8)で表す。f,g∈X(8)に対し掛算fg(a):=f(a)g(a)で定義すると, X(8)は位数4のAbel群となる事を示せ。そして(X(8),・)～Z_2×Z_2 (但し,～は群同型の記号)である事を示せ。 (証) (i) χ_0は単位指標,ρ_4(a):=(a/4),ρ_8(a):=(a/8) (但し,(/)はJacobiの記号)とすると {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}はDC(8)の可換な部分群となる(∵略). そして, (ii) {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}⊃X(8)となる(∵??) つまり,{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}=X(8). この時,{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}=<ρ_4,ρ_8>となる事は「生成された群」の定義より直ぐに分かる。 (iii) <ρ_4,ρ_8>～Z_2×Z_2(={(0mod2,0mod2),(0mod2,1mod2),(1mod2,0mod2),(1mod2,1mod2)})を示せばよい。 ここで(ii)の(∵??)の箇所,つまり法8に関するDirichlet指標全体は {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}以外に無い事と (iii)の箇所で <ρ_4,ρ_8>からZ_2×Z_2への全単射写像fをどのように対応させればいいのでしょうか?

Henselの補題の証明で質問です。 よろしくお願い致します。 [命題(Henselの補題)] pを素数とするとZ[x]∋f(x)はモニックでdegf(x)≧1とする。 もし,GCD{g(x),h(x)}=1なるモニックなg(x),h(x)∈Z[x] (但し,degg(x),degh(x)≧1, f(x)=g(x)h(x) (mod p) …【1】) が存在するなら g_1(x)=g(x),h_1(x)=h(x), g_k(x)≡g_{k-1}(x) (mod p^{k-1}) (但し,k>1) h_k(x)≡h_{k-1}(x) (mod p^{k-1}) (但し,k>1) f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^k) (但し,k≧1) …【2】 なるモニックの列{g_k},{h_k}⊂Z{x]が存在することを示せ。 という問題です。 [証] kについての帰納法で示す。 (i) k=1の時,仮定【1】よりg_1(x):=g(x),h_1(x):=h(x)と採ればf(x)=g_1(x)h_1(x)と書ける。 そこで (ii) k≧1の時,g_1,g_2,…,g_k,h_1,h_2,…,h_kが【2】を満たすと仮定すると…【3】 GCD{g_k(x),h_k(x)}=1なので、、、 と続く予定なのですが GCD{g_k(x),h_(x)}=1となる理由が分かりません。 『∵【3】(帰納法の仮定)より, g(x)≡g_1(x)≡g_2(x)≡…≡g_k(x)(mod p),h(x)≡h_1(x)≡h_2(x)≡…≡h_k(x)(mod p)となる。 この時,GCD{g(x),h(x)}=GCD{g_1(x),h_1(x)}=…=GCD{g_k(x),h_k(x)}=1』 が言えれば ∃α(x),β(x)∈Z[x];α(x)g_(x)+β(x)h_k(x)=1…【4】(∵某命題). そして今,f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^k) (∵【3】(帰納法の仮定))が成り立っているから, f(x)-g_k(x)h_k(x)=p^kF(x)…【5】. 従って f(x)=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)・1=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)(g_k(x)α(x)+h_k(x)β(x)) =g_k(x)h_k(x)+g_k(x)p^kα(x)F(x)+p^kβ(x)F(x)h_k(x) =g_k(x)h_k(x)+g_k(x)p^kα(x)F(x)+p^kβ(x)F(x)h_k(x)+p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2-p^kα(x)β(x)F(x)^2 =(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2で g_{k+1}:=(x)g_k(x)+p^kβ(x)F(x)、h_{k+1}:=h_k(x)+p^kα(x)F(x) …【6】と置けば g_{k+1}(x)≡g_k(x) (mod p^k) and h_{k+1}(x)≡h_k(x) (mod p^k) (∵【6】). 従ってf(x)-g_k+1(x)h_k+1(x)=f(x)-(g_k(x)+p_kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x)) =(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2-(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))=-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2 ≡0 (mod p^{k+1}) (∵≡の定義), つまり f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^{k+1}). 従って ∀k∈Nに対して, 【2】が成り立つ。 (終) という風に証明に至れるのですが『 』の箇所がどうして成り立つのかがいません。 どうすれば『 』は成り立ちますでしょうか?

Henselの補題の証明で質問です。 よろしくお願い致します。 [命題(Henselの補題)] pを素数とするとZ[x]∋f(x)はモニックでdegf(x)≧1とする。 もし,GCD{g(x),h(x)}=1なるモニックなg(x),h(x)∈Z[x] (但し,degg(x),degh(x)≧1, f(x)=g(x)h(x) (mod p) …【1】) が存在するなら g_1(x)=g(x),h_1(x)=h(x), g_k(x)≡g_{k-1}(x) (mod p^{k-1}) (但し,k>1) h_k(x)≡h_{k-1}(x) (mod p^{k-1}) (但し,k>1) f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^k) (但し,k≧1) …【2】 なるモニックの列{g_k},{h_k}⊂Z{x]が存在することを示せ。 という問題です。 [証] kについての帰納法で示す。 (i) k=1の時,仮定【1】よりg_1(x):=g(x),h_1(x):=h(x)と採ればf(x)=g_1(x)h_1(x)と書ける。 そこで (ii) k≧1の時,g_1,g_2,…,g_k,h_1,h_2,…,h_kが【2】を満たすと仮定すると…【3】 GCD{g_k(x),h_k(x)}=1なので、、、 と続く予定なのですが GCD{g_k(x),h_(x)}=1となる理由が分かりません。 『∵【3】(帰納法の仮定)より, g(x)≡g_1(x)≡g_2(x)≡…≡g_k(x)(mod p),h(x)≡h_1(x)≡h_2(x)≡…≡h_k(x)(mod p)となる。 この時,GCD{g(x),h(x)}=GCD{g_1(x),h_1(x)}=…=GCD{g_k(x),h_k(x)}=1』 が言えれば ∃α(x),β(x)∈Z[x];α(x)g_(x)+β(x)h_k(x)=1…【4】(∵某命題). そして今,f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^k) (∵【3】(帰納法の仮定))が成り立っているから, f(x)-g_k(x)h_k(x)=p^kF(x)…【5】. 従って f(x)=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)・1=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)(g_k(x)α(x)+h_k(x)β(x)) =g_k(x)h_k(x)+g_k(x)p^kα(x)F(x)+p^kβ(x)F(x)h_k(x) =g_k(x)h_k(x)+g_k(x)p^kα(x)F(x)+p^kβ(x)F(x)h_k(x)+p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2-p^kα(x)β(x)F(x)^2 =(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2で g_{k+1}:=(x)g_k(x)+p^kβ(x)F(x)、h_{k+1}:=h_k(x)+p^kα(x)F(x) …【6】と置けば g_{k+1}(x)≡g_k(x) (mod p^k) and h_{k+1}(x)≡h_k(x) (mod p^k) (∵【6】). 従ってf(x)-g_k+1(x)h_k+1(x)=f(x)-(g_k(x)+p_kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x)) =(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2-(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))=-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2 ≡0 (mod p^{k+1}) (∵≡の定義), つまり f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^{k+1}). 従って ∀k∈Nに対して, 【2】が成り立つ。 (終) という風に証明に至れるのですが『 』の箇所がどうして成り立つのかがいません。 どうすれば『 』は成り立ちますでしょうか?

法8に関するDirichlet指標全体をX(8)とすると,(i) {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}⊃X(8)となる,(ii) <ρ_4,ρ_8>～Z_2×Z_2 法8に関するDirichlet指標全体をX(8)で表す。f,g∈X(8)に対し掛算fg(a):=f(a)g(a)で定義すると, X(8)は位数4のAbel群となる事を示せ。そして(X(8),・)～Z_2×Z_2 (但し,～は群同型の記号)である事を示せ。 (証) (i) χ_0は単位指標,ρ_4(a):=(a/4),ρ_8(a):=(a/8) (但し,(/)はJacobiの記号)とすると {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}はDC(8)の可換な部分群となる(∵略). そして, (ii) {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}⊃X(8)となる(∵??) つまり,{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}=X(8). この時,{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}=<ρ_4,ρ_8>となる事は「生成された群」の定義より直ぐに分かる。 (iii) <ρ_4,ρ_8>～Z_2×Z_2(={(0mod2,0mod2),(0mod2,1mod2),(1mod2,0mod2),(1mod2,1mod2)})を示せばよい。 ここで(ii)の(∵??)の箇所,つまり法8に関するDirichlet指標全体は {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}以外に無い事と (iii)の箇所で <ρ_4,ρ_8>からZ_2×Z_2への全単射写像fをどのように対応させればいいのでしょうか?

(背理法で)[問]3≦e∈Nの時,既約剰余類全体の集合Z_{2^e}^×は巡回群にはならない事を示せ。 を背理法で示したいのですが <a>=Z_{2^e}^×なる生成元a∈Z_{2^e}^×があったと仮定するとどのような矛盾に辿り着きますでしょうか?

有理整数環Zにおいて、a,b,cはZに属するとする。このとき、((a)+(b))共通((a)+(c))=(a)+((b)共通(c))が成り立つことを示せ。 という問題です。 教科書を見てもどのように証明を進めていけばよいのかわかりません。 文系の学生でもわかるように教えてください。

有理整数環Zにおいて、a,b,cはZに属するとする。このとき、((a)+(b))共通((a)+(c))=(a)+((b)共通(c))が成り立つことを示せ。 という問題です。 教科書を見てもどのように証明を進めていけばよいのかわかりません。 文系の学生でもわかるように教えてください。

こんばんは。 研究で次のような問題で戸惑っています。次のものが半群となるかどうか調べたいのですが、なかなか証明できません・・。アドバイス等をいただきたく質問させていただきました。ご回答お願いいたします。 Ｓ＝Ｎ、　ａ○ｂ＝Ｇ⊂Ｄ（ａ、ｂ）　（ａ、ｂの最大公約数） Ｓ：空でない集合 Ｎ：自然数全体の集合 ※「○」はマルのことです。

単項イデアル整域と一意分解整域がイコールの関係であるということは文献などを見ると自明のように書かれているのですが、どのようにして示すことができるのでしょうか？ お願い致します。

素数の分類と無限性に関して。以前質問させていただいたことの延長になります。 ※＾は乗数の意味です。 8n+1型の素数が無限に存在することの証明 原始根の存在（素数 p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群が位数 p - 1 の巡回群であること）を使う。 x を整数とする時x＾4 + 1 の奇素数因子を p とする。 x＾4 ≡ - 1 (mod. p) より、両辺を2乗することでx^8≡1となる。 x の p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群での位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となる。ここで、 p ≡ 1 (mod. 8) となる素数が有限個であったとする時、その総乗積を P として、 (2P)＾4 + 1 の奇素数因子を考えると矛盾が出る。 私は2PをX"とおいて上と同様に考えました。 同じ方法を用いることで証明することはできたのですが、 この証明の中で用いている「位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となるの部分に関して ラグランジュの定理 　　　 　　　　位数nの有限郡Gの任意の部分郡Hの位数はGの位数の約数である を用いた場合、GとHに当たる部分はどこになるのでしょうか。今の段階では、nがｐ－１にあたり、Hの位数が８と考えています。ｐが素数で、８はｐ－１の約数になるとの考えは当っているでしょうか・・？ よろしくお願いします。

素数の分類と無限性に関して。 ※＾は乗数の意味です。 8n+1型の素数が無限に存在することの証明 原始根の存在（素数 p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群が位数 p - 1 の巡回群であること）を使う。 x を整数とする時x＾4 + 1 の奇素数因子を p とする。 x＾4 ≡ - 1 (mod. p) より、両辺を2乗することでx^8≡1となる。 x の p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群での位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となる。ここで、 p ≡ 1 (mod. 8) となる素数が有限個であったとする時、その総乗積を P として、 (2P)＾4 + 1 の奇素数因子を考えると矛盾が出る。 私は2PをX"とおいて上と同様に考えました。 この証明の流れや、8n＋1型の素数が無限に存在することは理解できるのですが、上の証明における「位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となる」の部分がどのようにして言えるのかが分かりません。フェルマーの小定理を用いているのでしょうか？ よろしくお願いします。

整数論に関しての質問です。 [Z√2i]が単項イデアル整域で素元分解可能であることはどのように考えて証明すればよいのでしょうか? よろしくお願いします。

素数に関する質問です。 aとbが共通因数を持たないならば、a^2＋b^2の奇数の素因数はどれも4n＋1の形をしている。 このことはどのようにして証明できるのでしょうか？

素数に関する質問です。 aとbが共通因数を持たないならば、a^2＋b^2の奇数の素因数はどれも4n＋1の形をしている。 このことはどのようにして証明できるのでしょうか？

有理整数環Zでは、任意のイデアルは単項イデアルということはどのようにすれば証明できるのでしょうか？ もしよろしければ、ご指導お願いします。

先日、NHKのリーマン予想の番組を見て、素数に興味を持ちました。 番組では、素数の出現の不規則性について紹介されてました。 自然数を１から順に見ていくと、素数が比較的密集しているところと、あまり出てこない場所がある、とのことでした。 そこで、隣り合う素数の間隔について、最小のものは3と2の間隔が1とか、2のもの、双子の素数（P(n+1)-P(n)=2）は無限にあることが確か証明されてた）と分かるのですが、最大の間隔、というものはあるのでしょうか。 つまり、ある数Nがあって、N≧（P(n+1)-P(n)）とおさえられる数Nというものがあるのでしょうか？？それとも、いくらでも長い間隔の素数の対があって、n→∞とすれば、max{P(n+1)-P(n)}は発散するものなんでしょうか？？ すみません、全然知識がないもので、素人質問ですが、素数の不思議さを知って、とても気になりました。もしかしたら、既出とか昔から知られてるのかも知れませんが、調べられませんでしたので、どうぞ、ご存知の方、教えて下さい！ もしNがあるのでしたら、何番目と何番目の間隔が最大で、そのNも知りたいです。

ある問題がわかりません。 I = {f(x) ∈ Q[x] | f(0)=0｝はQ[x]のイデアルとなることを証明せよ。 という問題なのですが・・・ f(0)=0なので、f(x)=an*x^n + an-1*x^n-1 + ... + a1*x + a0 とおくと、 a0 = 0 になるのはわかります。 そこからがわかりません・・・ イデアルであることの証明は 1)∀g(x),q(x) ∈ I , g(x) + q(x) ∈ I 2)∀g(x) ∈ I , ∀r(x) ∈ R[x](Q[x]??) , r(x)g(x) ∈ I の二つをいえばいいのでしょうか？ どうやっていえばいいのでしょうか？ 教えてくださいお願いします。