faubourgのプロフィール

にゃんこ先生といいます。 a,b,c∈{1,2,3,…,n} とします。 Σ[a≠b]ab ={Σ[k=1～n]k}^2 - Σ[k=1～n]k^2 ={n(n+1)/2}^2 - n(n+1)(2n+1)/6 =n(n+1)(3n^2-n-2)/12 Σ[a<b]ab =(1/2)Σ[a≠b]ab =n(n+1)(3n^2-n-2)/24 Σ[a≦b]ab =Σ[a<b]ab + Σ[a=b]ab =n(n+1)(3n^2-n-2)/24 + n(n+1)(2n+1)/6 =n(n+1)(3n^2+7n+2)/24 ですが、 Σ[a≠b,b≠c,c≠a]abc や Σ[a<b<c]abc や Σ[a≦b≦c]abc また、それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか？ にゃにかうまい考えがある気がするのですが、思いつきません。

にゃんこ先生といいます。 Σ[n=0,∞]1/n!=e ですが、 Σ[n=0,∞]1/n!! や Σ[n=0,∞]1/(2n!!) や Σ[n=0,∞]1/n!!! などなどについて、具体的な値や、無理数かどうかなどの性質で知られていることはあるのでしょうか？ 自作問題というより素朴な疑問です。