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独立な変数がθ1とθ2である2自由度系の微小振動の運動方程式を線形近似して、θ''をθの時間の二階微分、a、b、c、dを正の定数として θ''1 = -a θ1 + bθ2 θ''2 = -c θ2 + dθ1 という式が導かれたとき、この系の固有角振動数ω1とω2は、右辺の第二項を0として求めてもいいのでしょうか？ ダメな場合はどうすればいいのでしょうか？

何と言っていいかよくわからないのですが、多自由度系の普通の運動方程式 [M]x" + [C]x' + [K]x = f(t)があります([]はマトリクス)。 自由振動は外力ゼロの状態をいうのでf(t)=0として求めた固有値が固有角振動数及び減衰になります。この固有値が非線形パラメータだと書いてあるサイトがありますが意味が分かりません。 通常こういった形の式は2階線形の微分方程式と言われるので線形だと思っていました。しかし線形の条件はf(x+y)=f(x)+f(y)、c・f(x)=f(c・x)を満たすものとありますが、そうなっているのかどうかよくわかりません。 １．上記の運動方程式って非線形なのでしょうか？ ２．上記の運動方程式が線形か非線形は「Cマトリクスがゼロの場合」「MKマトリクスの線形結合で表せる場合」「CマトリクスがMKマトリクスの線形結合で表せない場合」の3ケースで異なるのでしょうか？

問題 鳥の生息数の変化は以下の法則がある。死亡率はｋ（一定）で、出生率は周期Ｔの周期関数ａ（ｔ）であり、オスの生息数をx（ｔ）、メスの生息数をｙ（ｔ）とすると、 　　　　dx/dt=-kx+a(t)y ・・・(1) 　dy/dt=(-k+a(t))y・・・(2) である。周期解が存在する条件を求め、その周期解を求めよ。 　(1)(2)を代入操作などで、 a(t)'y+a(t)dy/dt=kdx/dt+(dx)^2/(dt)^2 ＜※(dx)^2/(dt)^2は２階微分＞ となり、a(t)の微分が出ることで、連立微分方程式の解法にうまく帰着ができません。 周期解の条件と周期解の求め方を教えてください。よろしくお願いします。

常微分方程式の問題で オイラー法、ルンゲ・クッタ法、ルンゲ・クッタ・ギル法、ミルン法、アダムス法より２つの方法を用いて解け。 y''+y'/x+y=0 初期条件y'/x=-1/2 0<=x<=4 h=0.4 という問題なのですが、基本的に解き方がわかりません。 二階微分なので連立ルンゲ・クッタで解くのかな？っと思ったのですが 結局それからどうすればいいのかわかりません。 ２つの方法とありますが、これはどの方法でも解けるものなのでしょうか？ 本当はＣ言語のプログラムを組まなければいけないのですが、 この理論がわからないのでおねがいします。

微分方程式 dy/dx+ay=cosx を初期条件 x=0のとき、y=0 のもとで解け。ただし、aは正の定数とする。 という問題です。 １階線形微分方程式y'+P(x)y=Q(x)の解法で解けばいいのかなと思い、 解いていきました。 P(x)=aなので、 e^(∫P(x)dx)=e^(∫adx)=e^(ax) これを問題の両辺に掛けると、 e^(ax)y'+e^(ax)ay=e^(ax)cosx (e^(ax)y)'=e^(ax)cosx e^(ax)y=∫e^(ax)cosxdx となりました。 で、∫e^(ax)cosxdxの解き方がよく分かりません。 置換積分法と部分積分法を試したのですが、ダメでした。 そもそもこの解き方であっているのかもあまり自信がありません。 この問題の解き方、または∫e^(ax)cosxdxの解き方を教えて下さい。 ちなみに、指数の部分は()でくくられているところで、cosxやyは指数ではありません。 どなたかヨロシクお願いします。。。

起き抜けに、添付してある問題を解いていたところ、ある方との下記の話の流れから※１の質問を受けました。 「y=ax^2+bx+c とその一階微分 y'=2ax+b=0 が同時に成り立つのはx軸上に極がある時のみ。 実数の範囲内であれば重解を持つと言うことは、y=ax^2-bx+c の極 x=-b/2a がy=0 即ち、x軸上にあると言うことを。」 ここまではわかりました。そしてこの質問を受けました。 ※１「二次方程式の係数は全て実数と言う条件で、二次方程式の判別式が負となると言うことを二次関数との関係で考察せよ。」 私の脳味噌では即答に至りません。どなたかお力添えをお願いいたします。

下記の微分方程式についての質問です。 k * (d^2 y/dx^2) = a * y^2 …(1) ここで、k, a は定数、(d^2 y/dx^2)はyの2階微分（つまりy''）を表しています。また、* は積を表しています。 この2階微分方程式の一般解を求めたいのですが、詰まっています。 私のやり方は、まず(d^2 y/dx^2)=y'' として k * y'' = a * y^2 …(2) (2)の両辺に2y'をかけて k*y''*2y' = a * y^2 * 2y' これより ( k * (y')^2 )' = ( 2a* (y^3/3) )' 両辺を積分して k * (y')^2 = (2a/3) * y^3 + C1 …(3) (ただしC1は積分定数) このあと、変数分離すればとけるはずなのですが、 その先が詰まっています。 C1があるせいで積分できないのです。 これは一般解が求められないのでしょうか？ また、初期条件は x=0でy=y0、x→∞でy=0 なので、x→∞でy'=0 と考えて、(3)よりC1=0 として考えると、 うまく変数分離できて y^(-3/2) dy = √(2a/3k) * dx ∴ y^(-1/2) = (-1/2) * √(2a/3k) *x + C2 (C2は積分定数) ∴ y = ((-1/2) * √(2a/3k) *x + C2)^(-2) …(4) 初期条件より C2 = y0^(-1/2) という感じで解いていったのですが、 どうやら解答は y = p * (x + q)^(-2) ただし、p = 6k/a, q = (a*y0/6k)^(-1/2) となるようです。。。 何度見直してもこうならないのですが、 私の計算ミスでしょうか。。。？ (i) 式(3)の一般解 (ii) 式(4)が合っているか に関して、どなたか知恵をお貸しいただければ幸いです。 数式見づらくて恐縮です。

一階偏微分方程式の解析解をスペクトル法によって求めています． ここで境界条件がt=0でx＝x0、t=Tでx=xTという２つの境界条件を満たすような解を求めたいとします。 ある特定のx0、xTの値に対しては解を求めることができたのですが、 このx0やxTごとに解を求めるのは大変なのでx0とxTをパラメータとする解が求めたいのですがそのようなことは可能でしょうか？

目標は１日２題なのですが、今日は一問も解けずじまいです… 本日の問題 (1)　y´´´-y=x^2+x　三階微分の問題です。 まず最初は両辺を単に三回積分しましたが、そんなわけは無いなとすぐに思いました。 次に特性方程式より t^3-1=0を考えて、t=1　(ω,ω^2とかどうするのだろう)とか思いつつ、 f(x)=Ce^x (Cは積分定数です) 特異解をAe^xとして、Ae^x=x^2+x ∴y=Ce^x+x^2+x とかも考えましたが、見当違いですよね？ 結局、解法が解りません。 (2) y´´+y´+y = x^2+sinx 非同次線形の問題です。 特性方程式より t^2+t+1=0 , t=-(1/2)±(√(3)i)/2　虚数解です。 仮に問題の式を同時式とした場合、 f(ｘ)=e^(-1/2)(C1sin(√3x/2)+C2cos(√3x/2)) (Cは積分定数です) ここから先の特異解の求め方が解りません… 求めようとすると式が複雑になり計算が困難です。その時点で解法を間違えているかと… お手数をお掛けいたします、アドバイスをお願いします。

x''+x=cost という非斉次2階線形微分方程式の一般解を求める際、斉次解は問題なく導出できたのですが、非斉次特解をどう求めればいいのかわかりません。 とりあえず、 x(t)=c1sint+c2cost(c1,c2:任意定数) とおいて計算すると、 x''(t)=-c1sint-c2cost となり、代入すると cost=0 となってしまいます。この場合、非斉次特解は0という解釈でいいのでしょうか。 どなたかご回答よろしくお願いします。

yがxの関数でy=f(x)と書けるとき、dy=f'(x)dxで、これはdx=X-x,dy=Y-yとしたときに点(x,f(x))での接線上の点を(X,Y)としたときの接線の方程式を表すとのことでした。 このあと2階微分の説明のところでdx=⊿xはxに無関係にとれるのでd(⊿x)=0だからd(dx)=0とありました。dx=X-xなのでd(dx)=0-1=-1と考えてはいけないのはなぜですか？

x^2 (∂z/∂x)　+　(x^4-xy) (∂z/∂y)　= xz + y この問題が解けなくて困っています。 dx/(x^2) = dy/(x^4-xy) = dz/(xz+y) として、 dy/dx = (x^4-xy)/(x^2) = x^2-(y/x) dy/dx + y/x = x^2 に一階線形常微分方程式の公式を適用して、 y = (1/4)x^3 + C(1)(1/x) (C(1)は積分定数) まで解いたのですが、そもそもここまで合ってるかどうかさえ分かりません。 解き方を教えてください。 自分で確認したいので検算の方法もよろしければお願いします。

下記　(2) (δ^2 u)/(δx^2) = 0　の説明が理解できていません。まず、本の内容を： 例）　次の偏微分方程式を満たすu(x,y)の形を求めよう。 (1) δu/δx = 0 xに対する偏微分が0であるから、uはxを含まない関数、すなわちuはyだけの関数である。φ(y)をyの任意の関数として 　　　　　u = φ(y) である。 yの任意の関数φ(y)をxで偏微分しても結果は0であるため、φ(y)は1階の常微分方程式の解に含まれる任意定数に対応している。 (2) (δ^2 u)/(δx^2) = 0 (δ/δx)(δu/δx) = 0　であるから、(δu/δx) = φ(y)　（φ(y)はyの任意の関数）となる。つまり、 　　　　　(δ/δx)( u-xφ(y) ) = 0 したがって、もう１つのyの任意関数θ(y)を用いて 　　　　　u-xφ(y) = θ(y) となる。よって 　　　　　u = xφ(y)+θ(y) （φ(y), θ(y)はyの任意の関数 ） ・・・と本に書いてあります。 (1)は多分理解できています。普通の積分の積分定数C1, C2, ...みたいなものですよね？ ただ、それを踏まえて(3)ですけど、理解できていません。 まず、(δ/δx)(δu/δx) = 0になる理由は分かっているつもりです。 1階のをもう1回微分したから2階になったんですよね。 (δu/δx) = φ(y)は分かりません。もしそうなら、 　　　　　(δ/δx)( φ(y) ) = 0 でもいいということですか？そうなると次の式 　　　　　(δ/δx)( u-xφ(y) ) = 0 と矛盾してきませんか？u-xφ(y)が突然出てきた理由は、 　　　　　δu/δx = φ(y) 　　　　　δu = δxφ(y) 　　　　　u = xφ(y) 　　　　　u-xφ(y) = 0 ということですよね？これが合っているなら、むしろ、 　　　　　(δ/δx)( 0 ) = 0 じゃないですか？(←ここは多分自分が間違えていると思いますが何故か分かりません) そんなことを考えていると次にまた、 　　　　　u-xφ(y) = θ(y) が出てきて混乱しています・・・。 ネットで検索したらあるかと思ったのですが、すぐに応用の話になって見つかりません…。 ということで、上から一つ一つどうなっているのか説明して下さい。お願いします。

二階線形常微分方程式の問題について教えてください。 y"+2y'+2y=0,y(0)=1,y'(0)=1 の解き方ですが、 λ1=-1+i,λ2=-1-i より a=-1,b=1 となりました。 一般解が y(t)=e^(at)(C1cos(bt)+C2sin(bt)) なので y(0)=C1=1 y'(t)=ae^(at)(-C1bsin(bt)+C2bcos(bt)) y'(0)=-C2=1 C2=-1 よって y(t)=e^(-t)(cost-sint) と解きましたが答えは y(t)=e^(-t)(cost+2sint) となっています。 どこが間違っているのか教えてください。

この手の質問はたくさんあると思いますが、どうしてもわからないので改めて質問させてください。 ２階線形微分方程式の問題なのですが Dをd/dt、a,b,cを定数として (D^2)x+a(D)x+bx=c のxの解を求めなさいという問題なのですが、定数cをどう処理していいのかがわかりません。 なんとかして以下の形にもっていきたいのですが。。。 x=C1expαx+c2expβx よろしくお願いします。

以下の2階の微分方程式の解xを求めようとしています。 mx'' + cx' + kx = u m:マスの質量 c:ダンパ定数 k:ばね定数 u:ステップ入力 k >> c という条件があるとき、 pole1 = -c/2m + j ( sqrt(4mk - c^2) / 2m ) pole2 = -c/2m - j ( sqrt(4mk - c^2) / 2m ) より解xは、 x = u/k + Y e^λt Sin(ωt + θ) ただし λ = -c/2m ω = sqrt(4mk - c^2) / 2m Y,θは初期値から求める。 解xはこのような導出方法でよろしいでしょうか？

y=a*exp(x)+bx*exp(-x) の a と b を消去して x と y の微分方程式が作れません 未知数が2個あるので2階微分まで計算して、a について計算して、b について計算して y(x) の式に代入して計算する方法は分かっています。 解答には y"-2y'+y=0 と書いてありますが、実際に計算しても解答と一致しません y'=a*exp(x)+b(1-x)*exp(-x) y"=a*exp(x)+b(x-2)*exp(-x) y'-y"=b(3-2x)*exp(-x) b=(y'-y")*exp(x)/(3-2x) (x-2)y'-(1-x)y"=(2x-3)a*exp(x) a=(x-2)y'-(1-x)y"/((2x-3)*exp(x)) この後 aとbを　y(x) に代入しても解答と一致しません。計算間違いしていると 思いますが、分かる人は教えてください。

おそらく同次形の一階の微分方程式の問題で xy' = y + √(x^2-y^2) というもんだいをといてみました（勝手に同次形で・・・ｗ） 最終的に arcsin(y/x) = log|x| + C (C;a.c) とまでいったので±e^(-C)=αとして x = α exp(arcsin(y/x)) にしたんですけども解答では y + √(y^2 + x^2) = βx^2 という形になっているのですが、どうしたらこんな形の一般解を 導くことができるのでしょうか。 アドバイスお願いします！

y´´+y=0を複数の解法で解いてみます。 多分、後者が間違っていますので、ご指導下さい。お手数をおかけします。 特性方程式より考えると、t^2+1=0 t^2=-1よりt=±i tが虚数解なので、t=p±qiのとき、一般解はe^(px){C1sin(qx)+C2cos(qx)}になるという公式<※C1,C2は積分定数> （参照http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/Old/4KHouteishiki/houteisiki18.pdf　大矢教授のHPより) にあてはめて、t=0±1iと考え、y=e^0(C1sinx+C2cosx) y=C1sinx+C2cosx 確かにy´´+yに代入すると0になりそうです。 変数分離で考えると、y´´=-yより、1/y・y´´=-1 logy・y´=-x+C ※Cは積分定数 ylogy-y=-x^2/2+xC y=ylogy+x^2/2+xC 何かy´´+y=0にならない気がします。そもそも変数分離は２階微分の方程式で使えるのでしょうか？

受験生です。 ずっと昔の大学入試問題です。答えがなく、悩んでいます。 d^2y/dx^2-(a+b)(dy/dx)+aby＝0 (ただしdyやdxは微分演算子です) なのですが、おそらくa＝bとa≠bとで分けるのだと思いますが、 両者ともどのようにして解けばよいのか分かりません。 解だけは載っていまして、 y=A*exp(ax)+B*exp(bx)とy=(Ax+B)*exp(ax) でした。 とりあえず私はa=bのときをやってみまして、 (d/dx-a)^2y=0と形式的に書き直して、 (d/dx-a)(dy/dx-ay)=0 とし、 (dy/dx-ay)＝zとおいて ・(d/dx-a)z=0 ・(dy/dx-ay)=z を満たす解を探そうとしました。 上の方の式は直ぐにz=exp(ax)と出ましたが、 これを下の式に代入した後が分からなくなってしまいました。 勉強した範囲では、一階や二階の微分方程式の解は 一般解と特殊階の和で表せるということでしたが、それを元に 考えてみてもここから進みません。 質問は、以上の行き詰ってしまった所から先の解法と、 もうひとつの解であるy=A*exp(ax)+B*exp(bx)の導出方法です。 詳しい方、ご教授お願いできませんか。