- ベストアンサー
線形代数の問題ですが、詳しく教えてお願いします
大きいサイズ写真（http://imgur.com/cS4J10H） ちなみにこれが私の考え： （１）（a1,a2）=（a2,a3）=（a3,a1）=1/2 はそれぞれ一次独立ですね x1（a1,a2）+x2（a2,a3）+x3（a3,a1）=0とすると x1=x2=x3=0、それてx1a1+x2a2+x3a3=0でa1,a2,a3が一次独立を示せます （２）Imfはa2,a3で生成するので、（１）からa2,a3が一次独立ので、Imfの基底は（a2,a3） である （３）[f（a1）,f（a2）,f（a3）]=（a1,a2,a3）A （0,a3,a2）=（a1,a2,a3）A A=（0,a2/a3,a3/a2） （４）（５）がわからないです、ここでa1,a2,a3なので、私はλの計算方法だけ知っています。 恥ずかしいですが、大学で線形代数の基礎だけが勉強したが、ほとんど忘れてしました、いま院の入試が勉強しています、なかなか理解できない部分があります（特に線形変換）、どうぞ詳しく解け方法をお願いします
- LIXIVY
- お礼率14% (2/14)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1)は例えば x1a1+x2a2+x3a3=0 と置いて，それぞれ，ａ１，ａ２，ａ３との内積を計算すると x1+x2/2+x3/2=0 x1/2+x2+x3/2=0 x1/2+x2/2+x3=0 でMatlab風に書くと [1 1/2 1/2;1/2 1 1/2;1/2 1/2 1]*[x1 x2 x3]'=[0 0 0]' という方程式になります．ここで作られた行列の行列式は０出ないので， 結局x1=x2=x3=0となって，1次独立が示せます． (2)はその通りですが，このように記述した方が．．． 前問(1)より任意のベクトルyは次のように書ける． y=x1a1+x2a2+x3a3 これを問題の写像を通すと， f(y)=x2a3+x3a2 となるので，基底はa2,a3となる． (3)f(a1)=0,f(a2)=a3,f(a3)=a2なので基底a1,a2,a3を基準として考え,表現行列をAとすると A[1 0 0;0 1 0;0 0 1]'=[0 0 0;0 0 1;0 1 0] となります． (4)はこの行列の固有値なので,数値計算になります．結果は0，±1かと思います． (5)も数値計算になります．結果は[0 1 1]'と[0 -1 1]'になると思います． よって，a2+a3，-a2+a3が答えになります． (1)～(3)を勘違いされているようなので， そのあたりを復習されたらいいかと思います．
その他の回答 (1)
- 26803TT519
- ベストアンサー率52% (10/19)
(2) は, ひっとしてまぐれ当たり？ 説明できるのかな. (3) の A は, 3 行 3 列の行列に決まっているでしょう. 最後, 転置するの忘れないでね. けど, 忘れた場合, 一大事になるのかな. (4), (5) 普通に計算するだけですが, どこが不明？
関連するQ&A
- 線形代数の問題の解き方を教えてください。
線形代数の問題の解き方を教えてください。 2次形式f(x1,x2)=x1^2 + 2x2^2 をベクトルX=(x1,x2)T および行列Aを用いてXTAXと表すものとする。 (1)Aを求めよ (2)行列Aの固有値λ1,λ2 および固有ベクトルX1,X2を求めよ。ただしλ1>λ2とし、固有ベクトルは長さを１に正規化するものとする。 (3)f(X1,X2)を求めよ。 (4)f(X3)を求めよ。ただしX3=(1-α)X1+αX2,0≦α≦1とする。またf(X3)を最小とするαを求めよ。 という問題なのですが、簡単な線形代数しか学んでいないためわかりません。 どなたか教えていただけないでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題です。
線形代数の問題です。 問１．ベクトル空間Vにおいて、次の命題を考える。 Vのベクトル「 (1)X1,X2,X3,…,Xkは一次独立 」とする。 さらに、もう１つのVのベクトルyを付け加えたとき 「(2) X1,X2,X3,…,Xk,yは一次従属 」とする。 このときyは「(3) X1,X2,X3,…,Xkの一次結合 」で一意的に書き表される。 (i)「(1)」「(2)」「(3)」の定義を述べよ。 (ii)上の命題を証明せよ。 問２．次の言葉の定義を簡潔にかつ正確に述べよ。 ただし一次独立、一次結合という言葉は使ってもよい。 (i)線形空間の基底 (ii)線形空間の次元 (iii)線形写像の階数 分かる方お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の部分空間Wの生成元の定義について
部分空間W の生成元の定義に補足で ※a1，・・・，akは、線形独立やWの基底である必要はない とあります。 しかし、このあとの例題で、 R^2の線形空間において、W={x=［x1 x2］|2x1-x2=0｝(注意:xは列ベクトルです)がR^2の部分空間であることを示し、Wの基底を求めよ。という問題で、結果x=[x1 x2]=[x1 2x1]=x1[1 2](注意:xは列ベクトルです)とのりa1=[1 2](列ベクトル)とおくと、a1 はこれのみで、線形独立であり、かつWの任意の元xはx=ca1と、a1の線形結合で表される。よって{a1｝はWの基底である。このとき、Wはa1で生成される空間とよんでもいい。とります。でもこれは※と矛盾しています。どなたか詳しい解説を頂けないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- また線形代数ですが、、
また線形代数ですが、、 どなたかお願いします🙇♂️ a1,a2,a3をR^3のベクトルで <ak,ak>=1(k=1,2,3), <a1,a2>=<a2,a3>=<a3,a1>=1/2 みたすものとする。ここで<a,b>はR^3のベクトルaとbの内積を表す。 (1)a1,a2,a3が一次独立であることを示せ (2)f:R^3→R^3をf(a1)=0,f(a2)=a3,f(a3)=a2をみたす線形写像とする。このとき、fの像 Im f の基底を求めよ、ただし0は零ベクトルを表す。 (3)基底(a1,a2,a3)に関するf:R^3→R^3の表現行列Aを求めよ (4)fの固有値を全て求めよ (5)fの各固有値に対する固有ベクトルを、a1,a2,a3の一次結合で表せ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形写像の問題（基本）おしえてください！
大学一回生です。線形写像（超基礎です…）について教えてください！ 問題 「線形写像F:R^4→R^3 , F(x)=Axを考える。ただし A[p1 p2 p3 p4] (p1~p4は列ベクトル) p1=[1 -3 2] , p2=[-2 7 -5] p3=[0 -1 1] p4=[2 -9 7] (1)k=dim(KerF)とするとき、核KerFの（一つの）基底b1,b2,......,bkを求めよ (2)この基底を延長したR4の基底b1,b2,b3,b4を作り、F(bk+1),...,F(b4)が、ImFの基底であることを示せ。 」 (1)は解けてb1=[2 1 1 0] b2=[4 3 0 1] わからないのは(2)なのですが… b1,b2にe1,e2を追加した４個のベクトル b1=[2 1 1 0] b2=[4 3 0 1] b3=[1 0 0 0] b4=[0 1 0 0]でこれがR^4の基底であることを証明してそのあと・・・ 模範解答では 「ImFは、標準基底の像 a1=F(e2) a2=F(e2) a3=F(e3) a4=F(e4) によって生成される。a1,a2は一次独立、したがって、a1=F(e1)=F(b3),a2=F(e2)=F(b4)は、ImFの基底である。」 となっているのですが k=dim(KerF)=4-rankA=4-2=2なので bk+1=b3だから F(b3),F(b4)が、ImFの基底であることを示せば良いだけだと思うのですが、なぜ模範解答では「標準基底の像 a1=F(e2) a2=F(e2) a3=F(e3) a4=F(e4)・・・」などとおいているのでしょうか？？ わたしの解き方では不十分でしょうか？ とてもアホみたいな質問をしているかもしれません…申し訳ありませんがどなたか教えていただけると嬉しいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学の線形代数についていけなくなりました
現在文系の大学1年の者です。 線形代数を履修しているのですが、線形空間、線形写像、線形独立・従属、基底あたりが少し前から授業で扱われ始め、それまでわかっていた線形代数が突如わからなくなってしまいました。 あくまでも文系で、商学部にいるとはいえども今後線形代数を活用するような授業はとらない方向でいるので、とにかく理論的に間違っていても、概念的にぱっと聞いてわかるような説明が知りたいです。 同じような質問をこのサイトで検索して見つけた『すぐわかる線形代数』（石村園子著、東京図書）を買おうと思っているのですが、このサイトでもわかりやすい解説をしていただければなと思い質問しました。 まとめると、 線形空間、線形写像、線形独立・従属、基底とはイメージ的なものでかまわないので、理解するためにはどういったイメージを持てばいいか を教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学教養の線形代数です。教えてください。
線形代数の問題で困っています。どれかひとつでもいいのでご教授いただけたらと思います。問題が多いので質問を別々にさせていただきます。 (2) 次の線形写像f：Ｒ５乗 矢印 Ｒ５乗 のKerf及びImfの基底と次元をそれぞれ求めよ。（aは実定数） Ａ Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ Ｂ －Ａ＋Ｂ－Ｃ＋Ｄ＋aＥ ｆ： Ｃ 矢印 aＡ＋Ｂ－Ｃ＋Ｄ＋２Ｅ Ｄ ２Ａ＋aＢ＋２Ｃ＋Ｄ－Ｅ Ｅ Ａ ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ という問題なのですが、Imfは基本変形して解くのかと思い、基本変形したところ、Ａ＝０、Ｂ＝０、Ｃ＝０、Ｄ＝０、Ｅ＝０となり、線形独立となりました。そこで、Imfは、次元５と判断しました。でも違っていました。（回答はいくつだか分かりません。バツがついて帰ってきたもので。。） 何が違っているのか分かりません。助けてください。あと、Kerfの解き方も教えていただければと思います。Kerfの解き方は糸口すらつかめません。 （矢印とは右向きの矢印のことです。）
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の問題です。
線形代数の問題です。 Ｍ∈M_2,2(R)、N∈M_3,3(R)に対して、 線形写像f_M,N：M_2,3(R)→M_2,3(R)を f_M,N(X) = MX -XN と定義する。 【問題】 A= 2 2 -4 8 B= -1 1 -1 -6 4 1 0 0 2 とするとき、f_A,BのJordan標準形を求めよ。 【自分の解答】 線形変換の基底を<E_11,E_12,E_13,E_21,E_22_E_23>を定めて 変換の表現行列を求めようとしました。 しかし、6×6行の行列になって計算量が多い上、 ブロック対角化されたJordan標準形になりませんでした。 この方針で合っているのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
解答ありがとうございます、参考になりました : )