期待効用関数について

質問

状態X,Yの下での条件付き財(x,y)の期待効用関数がEU=xyというのは、どういうことなのでしょうか？

私は今まで、期待効用関数はEU=pu(x)+(1-p)u(y)の形をしているものだと思っていました。
でも上の形だと、確率pやら個人の効用関数は分かりません。

この場合、特に指数もありませんから、確率は両方とも1/2と考えてもよろしいのでしょうか？

回答No.3

statecollege · ベストアンサー

回答No1の訂正。回答No1の

「いま、関数ｆ（ｚ）= 2e^zを用いて、関数(*)を単調変換してください。すると、(*)は

　　　　f[0.5lnx +0.5lny] = 2e^[ln(xy)^0.5] = xy

と変換されますが、あらためてｆ（0.5lnx +0.5lny)≡EUと書けば、求める「期待効用関数」

(**)　　　　　EU = xy

を得る。厳密に言うと、この式(**)は期待効用関数(*)のｆ（ｚ）= 2e^zによって単調増加変換された「期待効用関数」です。」

⇒

「いま、関数ｆ（ｚ）= e^(2z）を用いて、関数(*)を単調変換してください。すると、(*)は

f[0.5lnx + 0.5lny] = e^[2×0.5ln(xy)] = e^ln(xy) = xy　　

と変換されますが、あらためてｆ（0.5lnx +0.5lny)≡EUと書けば、求める「期待効用関数」

(**)　　　　　EU = xy

を得る。厳密に言うと、この式(**)は期待効用関数(*)のｆ（ｚ）= e^(2z)によって単調増加変換された「期待効用関数」です。」

へ訂正してください。

お礼

重ね重ねありがとうございます。おかげで充分に理解することができました！

回答No.2

statecollege

＞本当に申し訳ないのですが、自分は数学を今までさけてきて、ｆ（ｚ）= 2e^zの2という値がどうしてもよく分かりません。

・f(z) = 2e^z = 2掛ける(eのｚ乗)です。eは自然対数の底（てい）といわれるもので、円周率Πと同じように無理数で、2.71828・・・という値をとる。自然対数関数ｆ（ｘ）＝lnxはlogｘとも書きますが、対数の底はeです。（底が１０である対数を常用対数といい、これもlogxとも書きますがこれと混同しないようにしてください。）この関数は経済学ではよく使いますので、性質をよく覚えておいてください。性質のいくつかを書いておきます。

y = e^x　⇔　x = ln y
e^lnx = x
ln e^x = x
y = e^x ⇒　y' = dy/dx = e^x
y = ln x ⇒　ｙ' = dy/dx = 1/x

などです。

・関数y = e^xのグラフは、ｘが０のときｙは１の値をとり、ｘが大きくなるに従い、急速に上昇し、ｘが∞にいくと、ｙは∞に発散する。

回答No.1

statecollege

あなたの期待効用関数の右辺pu(x) + (1-p)u(y) = zと書き、 u(x) = lnx、p= 0.5とすると

(*)　　　　z = 0.5lnx + 0.5lny = ln (xy)^0.5

となることを確かめてください。ただし、lnxはｘの自然対数だ。いま、関数ｆ（ｚ）= 2e^zを用いて、関数(*)を単調変換してください。すると、(*)は

　　　　f[0.5lnx +0.5lny] = 2e^[ln(xy)^0.5] = xy

と変換されますが、あらためてｆ（0.5lnx +0.5lny)≡EUと書けば、求める「期待効用関数」

(**)　　　　　EU = xy

を得る。厳密に言うと、この式(**)は期待効用関数(*)のｆ（ｚ）= 2e^zによって単調増加変換された「期待効用関数」です。関数ｆ（・）はｚの単調増加関数であることをたしかめてください（どうやって確かめる？）それから、効用関数の序数的性質を思い出してください。

効用関数の序数的性質とは、効用関数は単調変換しても性質は変わらない。つまり、(*)の右辺を最大化するのも、(**)の右辺を最大化するのも同じ結果に達する、ということだ。

なお、期待効用関数という言葉ですが、pu(x)+(1-p)u(y)ではなく、u(x)を指して言う場合もありますので、混同を避けるためにu(x)に対してははフォン・ノイマン＝モルゲンシュテルン効用関数ということばを使ったほうがよいでしょう。このu(x)は一般に単調増加変換に対して一意的ではなく（つまり単調変換すると性質が変わる）、正一次変換にたいしてのみ一意的である（正1次変換しても変わらない）という性質をもっています。この辺の詳しいことは、岡田章「ゲーム理論・入門」(有斐閣アルマ）の第2章第3節「期待効用仮説」をお読みなさい。

補足

とても丁寧なご回答ありがとうございます。

本当に申し訳ないのですが、自分は数学を今までさけてきて、ｆ（ｚ）= 2e^zの2という値がどうしてもよく分かりません。
経済学を離れたところの質問で心苦しいのですが、簡単にでもいいので教えていただけませんか？