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y ''+(e^y)(y ')^3 = 0 が解けません・・・・。 一階微分方程式にするため z=y 'として F(y,y ',y '') = F(y,z,(dz/dy)x) を使って解いていったのですが、xが消えず、変数分離なども不可能でどうしてよいか分からずお手上げ状態です。 どなたかよろしくお願いします。

偏微分方程式の解き方を教えていただけないでしょうか。 u_t (ｔの一階微分） = u_xx (ｘの二階微分） x∈[0,1]のとき、 境界条件 u_x(0,t)=0 、u(1,t)＝5t （↑ｘの一階微分） 初期条件が、 u(x,0)=0 自分で _____________________ du/dt = d^u/dx^2 x∈[0,1] du/dx(0,t)=0 、u(1,t)＝5t u(x,0)=0 のとき、変数を分離して、 u=(X,Y) X''=-λXとしました。 X＝c1 cos(√(λ) x) +c2 sin(√(λ) x) として、 X’＝√(λ) ＊（ーc1 sin(√(λ) x) +c2 cos(√(λ) x) ） 境界条件をいれると、 X’(0)＝√(λ) ＊（ーc1 sin(√(λ) 0) +c2 cos(√(λ) 0) ） より ｃ２＝０ X（１）＝c1 cos(√(λ)*１) +c2 sin(√(λ)*１) =5t c1*cos(√(λ)*１) =5t ____________________________ と計算をしてみたのですが、５ｔの扱い方がわからず、躓いてしまいました。 どのように計算をすればよいか、教えていただけないでしょうか。

微分の部分をDと表して、微分を代数方程式に変形して解く 方法を勉強します。 d^2y / dx^2 + K1*dy/dx + K2*y= 0 を (D^2 + K1*D + K2)* y = 0 として解く部分ですが、 (1) K1^2 - 4*K2 = > 0の場合 y= k1 * e^(t1*x) + k2 * e^(t2*x) (2) K1^2 - 4*K2 = 0の場合 y = e^(t0*x) * (k1 + k2*x) となる、と本に記載されているのですが、何故このような式 で階が得られるのでしょうか? 参考になる本、またはwebの情報がございますでしょうか?

応用数学の問題の2階微分方程式の概説と標準形において、 (C1 + C2)=asinφ, (C1-C2)i=acosφとおくというのがあるのですが、この式にはどのような関係があるのでしょうか？ C1,C2は任意定数、iは虚数単位です。 (C1 + C2)=asinφは満たしたとして、(C1-C2)i=acosφを満たすことが分かりません。 どなたかご教授お願いします。

y´´-3y´+y=e^x cosx　という微分方程式をy=e^x (Acosx+Bsinx)の形で求めよという問題ですが、同次方程式の解と特殊解の解を求めればいいと思うのですが、 特性方程式λ^2 -3λ+1=0で解きます。解の公式で解くとλ=3±√5/2という解がでたのですがあっているのでしょうか？もしあっているとしたら基本解は実数解になるのですが、y=e^x (Acosx+Bsinx)の形で求めよという問ですので基本階は共役複素数解にならないといけないですよね？僕はどこを間違えているのでしょうか？教えてください

波動方程式の計算に出てくる、偏微分方程式の解の計算方法が分かりません。 本から引用します： ここで、弦を伝わる波の問題などで使われる波動方程式 { (∂^2) u(x,t) } / (∂t^2) - c^2 * { (∂^2) u(x,t) } / (∂x^2) = 0 (式7.33) を考えてみよう。ここで、u(x,t)は座標xの位置での時刻tにおける弦の変位を表わし、cは正の定数とする。そして、∞に長い弦を考え（すなわち、-∞<x<∞の範囲で考え）、境界条件は、すべての t>=0 に対して u(x,t)→0 (式7.34) (x→±∞) を満たすとする。つまり、無限遠では波が存在しないとする。更に初期条件は u(x,0) = f(x) { ∂u(x,t) } / ∂t |t=0 = 0 (式7.35) とし、ここでf(x)は x→±∞ で0に近付く絶対可積分な関数であるとする。また、上式の縦棒(|)の後のt=0は、「t=0での偏微分の値」という意味である。(式7.35)のように初期条件として2つの式を与えるのは、(式7.33)がtについて2階の微分方程式だからである。今の場合、xの無限領域での関数u(x,t)を取り扱うので、フーリエ変換を使った解法を用いればよい。 例題 初期条件(式7.35)と境界条件(式7.34)を満たす(式7.33)の解を求めよ。 [解] u(x,t)のxについてのフーリエ変換を F(k,t) = ∫[-∞,∞] u(x,t) e^(-ikx) dx (式7.36) と表す。(式7.33)にe^(-ikx)を掛け、xについて-∞から∞まで積分すると、熱伝導方程式(式7.20)を導いたときと同様な考え方から、 { (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) + (c^2) * (k^2) * F(k,t) = 0 (式7.37) ←質問箇所 を得る。この微分方程式の解は、 F(k,t) = C[1](k) e^(ickt) + C[2](k) e^(-ickt) (式7.38) ←これをどう導いたのかが不明 であることが、代入すれば確かめられる。ここで、C[1](k)、C[2](k)は任意のkの関数で ある。 ・・・以上、引用終わり。 私は偏微分方程式自体、変数分離とかいう方法でサラッとやっただけで、上記の方法は見たことがありません。ネットで検索しましたが、同様の式を見つけることが出来ませんでした。そんな私が敢えて解こうとすると： { (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) + (c^2) * (k^2) * F(k,t) = 0 第2項を右辺に移項する { (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) = - (c^2) * (k^2) * F(k,t) 左辺の(∂t^2)と右辺のF(k,t)を交換する { (∂^2)F(k,t) } / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * (∂t^2) 両辺をtで積分する（もう既に未知の領域…きっと2乗が減って1乗になるのでしょう…） ln{F(k,t)} * {∂F(k,t)} / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * ∫(1)(∂t^2) ln{F(k,t)} * {∂F(k,t)} / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * t (∂t) + C[1](k) もう一度両辺をtで積分するだろう雰囲気を漂わせたところでやめておきます。 もしかしたらln{F(k,t)}を積分しなければならないのでは、と思ったら思考が停止しました。多分、既に間違っているのでしょう。 …ということで、この偏微分方程式の解き方を教えて下さい。お願いします。

　フィボナッチ数列の一般項をf(x)とおくと、f(x+2)=f(x+1)+f(x) f(1)=f(2)=1である。 さて一般に、未知の関数f(x)に関するf(x+2)+Af(x+1)+Bf(x)=0を線形2階同次差分方程式という。Δ^2f(x)=Δ{f(x+1)-f(x)}=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)であるから、原式は、 Δ^2f(x)+kΔf(x)+Lf(x)=0の形にかけ、線形２階同次というのである。この方程式は 線形２階微分方程式と同様の手法で解ける。 いま、２次方程式λ^2+Aλ+B=0の２根をα,βとすると (1)α=βのとき　A=-2α,B=α^2 よって原式はf(x+2)-2αf(x+1)+α^2f(x)=0となる。 これをα^(x+2)でわって、1/(a^x)f(x)=g(x)とおくと、g(x+2)-2g(x+1)+g(x)=0を得る。 すなわち、Δ^2g(x)=0 よってg(x)=c1x+c2,f(x)=a^x(c1x+c2)となる。 (2)α≠βのとき　α^(x+2)+Aα^(x+1)+Bα^x=0よってα^xは原式の解となる。β^xも同様である。 ところで、線形２階差分方程式の一般解は１次独立な2つの解の１次結合で表されるから(微分方程式の場合と同様),f(x)=c1α^x+c2β^xとなる。フィボナッチの場合は、λ^2-λ-1=0よりα=(1+√5)/2 β=(1-√5)/2を得るから、一般解はf(x)=c1{(1+√5)/2}^x+c2{(1-√5)/2}^xとなる。 ここでf(1)=f(2)=1よりc1=-c2=1/√5を得るのである。 以上の解説で、フィボナッチ数列の一般項は、f(x+2)=f(x+1)+f(x)であるから、λ^2-λ-1=0を満たすλで等比数列を作る、のは高校生で習うような解き方だと思うのですが、この解説では、２次方程式λ^2+Aλ+B=0の２つの解をα,βとして場合わけして解いています。最初にλ^2+Aλ+B=0を使い、λ^2-λ-1=0を使わない理由を教えてください。また、 (2)α≠βのときα^(x+2)+Aα^(x+1)+Bα^x=0となっているのがわかりません。自分はα^2+Aα+B=0なら納得できるのですが、どなたか解説が正しいことを説明してください。 y”=0 ⇔ y’=C1 ⇔ y=C1x+C2 や　(C1α^x+C2β^x)”+a(C1α^x+C2β^x)’+(C1α^x+C2β^x) =C1(α^x”+aα^x’+bα^x)+C2(β^x”+aβ^x’+bβ^x)=0などは納得できました。

※先週、質問させていただいた 「偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x^2)=0」 http://okwave.jp/qa/q8102140.html に関連した質問です。 u を x と y の関数として、次の偏微分方程式の解 u(x,y) の形を求めよ。 (∂^2 u)/(∂x∂y)=0 模範解答 (∂/∂x)(∂u/∂y)=0 であるから、 　　　　　∂u/∂y = φ(y) 　　　　　(φ(y)はyの任意の関数) である。したがって、 　　　　　u = ∫φ(y)dy + θ(x) 　　　　　　= φ_1(y) + θ(x) 　　　　　(θ(x), φ_1(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数) となる。 ・・・と本に書いてあります。 最初の(∂/∂x)(∂u/∂y)=0は自分でも出来ました。 でも、なぜ ∂u/∂y = 「φ(y)」になるのか分かりません。 てっきり、∂u/∂y = 「φ(x)」になるのかな、と思っていました。 というのも、前回の質問にも載せた、本からの抜粋によると： 例）　次の偏微分方程式を満たすu(x,y)の形を求めよう。 (1) ∂u/∂x = 0 xに対する偏微分が0であるから、uはxを含まない関数、すなわちuはyだけの関数である。φ(y)をyの任意の関数として 　　　　　u = φ(y) である。 yの任意の関数φ(y)をxで偏微分しても結果は0であるため、φ(y)は1階の常微分方程式の解に含まれる任意定数に対応している。 ・・・でしたから、今回の場合、 「yに対する偏微分が0であるから、uは『y』を含まない関数、すなわちuは『x』だけの関数である。φ(x)をxの任意の関数として 　　　　　u = φ(x) である。」になると思っていました。なぜ、こうならないのですか？ （そして、後半では突然θ(x)が出てきて、こっちはxの任意の関数のようですね・・・。） 混乱しています。分かる方、どうか説明して下さい。お願いします。

二階の微分方程式について質問があります。 例えば、 x''+x'+2x=0 これを解くとするじゃないですか。 すると、特性方程式の根は-1±i√7となるので、 一般解はx=C(exp-y)cos(√7)y+c(exp-y)sin(√7)y となりますよね？ では、 x''+x'+2x=α と＝０ではなく＝定数 と式が与えられているときはどのようにとけば良いのでしょうか？ ＝０という問題は色々あるのですが、＝定数というのはまだ見たことがありません。 また特殊解はどのように求めますか？

２回微分可能で２階導関数f''(x)が連続な関数のうち 式(1) f''(x)-5f'(x)+6f(x)=０を満たす関数を考える。以下の方法でf(x)を求める。 1. f(x)をe^2xまたはe^3xと取ると式(1)を満たすことを示せ。 2.式(1)を満たすf(x)に対して、t1,t2,t3を変数とする方程式 t1e^2x+t2e^3x+t3f(X)=0 を考える。この方程式の解(t1,t2,t3)を求めよ。 3. 式(1)を満たすf(x)をとると、必ずある定数d1,d２∈Rを用いてf(x)=d1e^2x+d2e^3xと表せることを示せ この問題なのですが解き方がわかりません お願いします

全部で10問の微分方程式の初期問題を解け、という課題なんですが、全く方針が立ちません。というのも、授業で教授が全く例題を解いていないので何から手を付けてよいのやらわからないのです。 x ' '+2x '+2x=6exp(-2t) -2exp(-t) x(0)=0,x '(0)=2 という似たような問題が10問あるんですが、この問題だけ解いてみていただけませんか？解き方さえわかればあとは自分で解くので。せめて方針だけでも教えていただけると助かります。よろしくお願いします。 x 'はxの一階微分、x ' 'は二階微分、exp(-t)は、eの-t乗のつもりです。表記の仕方が正しいのかわかりませんが(^^;)

２階の常微分方程式についてお聞きします。 λ=a+bi の２つの共役の解である場合、 y = C1 exp(λ1x) + C2 exp(λ2x)　が一般解になるはずですが、 これを変形して y = exp(ax) (C1 cosbx + C2 sinbx)となるらしいのですが、 どういうふうに変形しているのでしょうか？問題はここまで解けないといけないらしいので教えてくださいお願いします。

連立微分方程式の解について質問があります。 m1,m2,k1,k2,μ,gは定数であり、x1,x2はtの関数であるとき、 m1*dx1^2/dt^2=-k1*x1+k2(x2-x1)±μ*m1*g m2*dx2^2/dt^2=-k2(x2-x1)±μ*m2*g ※表記があってるかわからないのですがdx1^2/dt^2はx1の二階微分です。 の解を求めたいのですが、これがどうしても解けません。 わかる方がいらっしゃいましたらできるだけ詳しく教えていただけないでしょうか。 よろしくお願い致します。

今、数値解析という授業で4次のルンゲクッタ法で1階と2階の常微分方程式を解くプログラムをつくれという課題がでています。 RLC回路を解くという課題なのですが、RLC回路は解こうとすると微分方程式になりますので。 ネットで色々調べてみたのですが、どれもよくわかりませんでした。 問題として基礎式と初期条件、実験データというのが与えられています。 ネットでは実験データを利用するようなプログラムはありませんでした。 使わなくてもできるようなものなのでしょうか?それすらもわかりません。 私はプログラムが苦手で、そのプログラムが理解できないのでそれを参考に作ろうとしても皆目見当がつきません。 とりあえず、プログラムを理解するところから始ようと思うので、このURLのプログラムの解説をお願いします。 http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/studying-C/Programing-in-C/node45.html とりあえず基礎式や初期条件がどれなのかよくわかりません。 また、基礎式や実験データを使う場合どのようにプログラムに組みこめばよいかも教えていただけると嬉しいです。

『二階線形微分方程式　u''+2u'+5u=5sint　を考える。 　(１)u0(t)=αcost+βsint　が特殊解となるように、定数α、βを定めよ。 　(２)一般解を求めよ』 (１)はわかったのですが、(２)がわかりません。 u''+2u'+5u=0　を解いて、定数変化法でやろうかと思ったのですが(１)との繋がりが見えずに困っています。 よろしくお願いします。

f(u)=∫exp(-ax^2＋iux)dx のuに関する微分df(u)/duを求めるという問題です。iは虚数単位で、a>0です。積分範囲は-∞～∞です。 ガウス積分の公式からexpの最初の項が√π/aになると思ったのですが、オイラーの公式のような∫exp(iux)dxの部分が微分や積分ができません。どうやら答えはf(u)*(-u/2a)になるようなのですが。。 答えがf(u)*(-u/2a)となることを示せれば、１階の微分方程式が成り立ち、解析的にf(u)が決定できそうなんです。すみませんが回答の程よろしくお願いします。

関数について質問です。 f(x)があるとします。これはxを変数とする関数の意味を示してるのですが、f(x)は０になるでしょうか？ 例えば、 1階線形微分方程式で y'+P(x)y=Q(x)という公式があります。 このとき、P(x)やQ(x)の値が定数ということはありえるのでしょうか？？ 意味不明な質問ですみません。

課題で、 y''=y'W　(Wは自然対数eのy乗) がどうしても解けません。 ２階線形微分方程式をつかうらしく、y'=pと置いて計算していくと、 dy/(W+C)=dx　(Cは定数) まではいけるのですが、これ以降の計算ができません。 ちなみに答えは、 log(1-AQ)=Ax+B, y=C　(Qは自然対数eの-y乗。A,B,Cは定数)です。

私は理工学部に通う大学1回の者です。 大学で微分方程式を取っているのですが、 今、出されている課題でじぶんで解けない問題があります。 所謂、詰んでいる状態です。 友人も同じ課題に取り組んでいるので、 私的には友人の力を借りたくないという思いがあり、ネット上で聞いてみようと思い至りました。 解答できる方、よろしくお願いします。 以外に問題を載せます。 つぎの2階線形微分方程式の初期値問題を解け a)d^2y/dt^2+2dy/dt+5y=0 b)d^2y/dt^2－dy/dt－6y=0 初期条件はともにy(0)=1, y'(0)=1/2とする。 私が詰んでしまっている要因として、問題に応じての基本解系の選び方がイマイチわかっていないことにあります。 そこんところの考え方というか、定石も添えて書いていただけると助かります。 よろしくお願いします。

[y''+y'/x-y/x^2=0　を解け] という問題を見かけたのですが，どのように解けばいいのかわかりません． (1)２階微分方程式にyが含まれないときはy'=pとおき，y''=dp/dxとして解く． (2)d^2y/dx^2=ky(k：定数)のときは公式がある． (3)y''+ay'+by=R(x)(a,b：定数，R(x)：xのみの関数)のときは補助方程式の一般解と特殊解を求めて解く というのは教科書に書いてあったのですが，今回の問題はこの中のどの方法を使えば解けるのでしょか？ 解答にはy=Ax+B/x(A,B：任意定数)とあります．