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数学の問題に関しての質問です。詳しい方にご回答お願いいたします。 私自身しっかり理解して、自分で出来るようになりたいので、なるべく詳しい解説と解答をお願いします。 １．関数u(x,y)に対しU(r,θ)=u(rcosθ,rsinθ)とおく。u(x,y)が{d^2u/dx^2}+{d^2u/dy^2}=0を満たすことと、U(r,θ)が{d^2U/dr^2}+{dU/dr}/r + {d^2U/dθ^2}/r^2 =0を満たすことは同値であることを示せ。 ここでr＞0とし(x,y)≠(0,0)とする。 ２．u(x,y)=log{√(x^2+y^2)}は、(x,y)≠(0,0)のとき{d^2u/dx^2}-{d^2u/dy^2}=0をみたすことを示せ。 ３．u(x,y)が√(x^2+y^2)＜1で{d^2u/dx^2}+{d^2u/dy^2}=0を満たしているとする。V(x,y)=u{x/(x^2+y^2),y/(x^2+y^2)}は√(x^2+y^2)＞1で{d^2V/dx^2}+{d^2V/dy^2}=0をみたすことを示せ。 ４．x>0,t>0で波動方程式 {∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0をみたし 境界条件 ∂u(0,t)/∂x=0,t≧0 と初期条件 u(x,0)=(sin(π(x-1)))^2 1≦x≦2 =0 0≦x＜1または2＜x ∂u(x,0)/∂t=0,x≧0 をみたす解u(x,t)のu(x,3/2)(x≧0)のグラフを描け。 ５.E(x,t)(t>0)を E(x,t)=exp(-x^2/4t)/2√(πt) で定義する。 f(x)をx∈Rで定義された連続で有界な関数とする。 初期条件 u(x,0)=f(x)(x∈R) …(１) をみたす熱伝導方程式 {∂u(x,t)/∂t}-{∂^2u(x,t)/∂x^2}=0,t＞0,x∈R …(２) を解u(x,t)をE(x,t)を用いて表せ。 m,Mを定数として関数f(x)がR上でm≦f(x)≦Mを満たせば、E(x,t)を用いて表された(１)を満たす(２)の解u(x,t)もt＞0でm≦u(x,t)≦Mとなることを示せ。 次に、関数f(x)がR上でf(-x)=f(x)を満たしているとする。E(x,t)を用いて表された(１)を満たす(２)の解u(x,t)は、t＞0で∂u(0,t)/∂x=0を満たすことを示せ。 (∫exp(-x^2)dx=√πであることは、自由に用いてもよい。(積分区間は－∞から∞)) ６．移流方程式 {∂u(x,t)/∂t}-{∂u(x,t)/∂x}=0 を－∞＜t＜∞、－∞＜x＜∞で考える。初期条件 u(x,0)=sin(x)、－∞＜x＜∞ を満たす解を求めよ。 ７．sをパラメータとして、波動方程式 {∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0 の解で、初期条件 u(x,s)=0,－∞＜x＜∞ ∂u/∂t=sin(x+s) ,－∞＜x＜∞ をみたす解u(x,t)を求めよ。その解をU(x,t,s)で表すとして、v(x,t)=∫U(x,t,s)ds(区間は0からt)を計算せよ。 そして、v(x,t)が非斉次の方程式 {∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=sin(x+t) を満たすことを示せ。 ８.x>0,t>0で波動方程式 {∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0をみたし 境界条件 ∂u(0,t)/∂x=0,t≧0 と初期条件 u(x,0)=(sin(π(x-1)))^2 1≦x≦2 =0 0≦x＜1または2＜x ∂u(x,0)/∂t=0,x≧0 をみたす解u(x,t)のu(x,3)(x≧0)のグラフを描け。 お願いします！(>人<)

独学で量子論を勉強している大学一年生です。教科書はアトキンス物理化学要論第5版をつかっています。 早速質問です。 教科書に、 「粒子が容器の壁の中に入り込んでいるとき、そのポテンシャルエネルギーが無限大ではないが、E<Vであれば(全エネルギーがポテンシャルエネルギーよりも小さく、古典的には粒子が容器から脱出できない)、波動関数は急に0になる訳ではない。」 とかいてあるのですが、全エネルギーはポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和のことなので、E<Vのとき、運動エネルギーが負になると思います。これはあり得るのですか？ また、シュレディンガー方程式を使えば、障壁にぶつかる粒子がトンネルする確率を求められるらしいのですが、どのようにもとめられますか？ 一次元のシュレディンガー方程式 -(h^2)/2m(d^2ψ/dx^2)+V(x)ψ=Eψ で、V(x)を障壁におけるポテンシャルエネルギーV(>E)として、ψ=Ae^(λx)とおくと、λ=±√{2m(V-E)}/ h となったのですが、ここからどうすればよいのかわかりません。

物理学の基本法則は、古典力学、一般相対論、量子力学すべて微分方程式で表されています。ということは初期条件が与えられると、この宇宙の全未来と全過去が決まってしまうということです。たとえばモーツアルトの音楽はモーツアルトの誕生以前の初期条件の中にすでに存在していたこのになる。したがって我々の創造性も倫理も意味をなさなくなってしまう。 物理を勉強している皆さん、あるいは生業にしている皆さん、そんなことが信じられますか。ご意見をお聞かせ下さい。 因に、量子力学の不確定性原理は単に微分方程式に従う実態が数ではなくて、演算子あるいは波動関数だと言うことを主張しているだけですので、演算子に対する物理学の基本法則のこの初期条件による決定論的性格は変わりません。 また、フォン・ノイマンの観測の理論は物理学の基本法則の枠外の理論ですので、これを認めてしまったら、そもそも物理学におけるの基本法則の概念も無意味になってしまいます。

以下、僕の理解を示すため、あと、質問に入るため、すこし長文を書きます。 以下が大体の僕の理解だと思ってください。一応、量子力学、統計力学は理解しているつもりです。 　結晶中では原子や分子の単位構造が規則的に並んでおり、電気伝導においてはその規則的な構造の中を電子が動き回る。ここでは簡単のため、長さがＬの１次元の結晶を考える。量子力学から、閉じ込められた自由電子の波数kとエネルギーEには E = (h_bar*k)^2/(2*m) ; k = ±2πn/L という関係にある。このため、通常であれば自由電子のエネルギーはこの式によって連続的であるはず。 　結晶が単位構造が１原子からなり原子間隔がaであるとする。次の式が満たされるとき、波数kの電子の波動関数はブラッグ反射を起こして、その存在密度は散乱される。 k = ±π/a 　このため、結晶内で式を満たす波数k付近の波数を持つ電子は自由電子のようにはふるまえない。進行波は散乱され、電子の波動関数は定在波でしか許されない。１つの自由電子の波動関数ψの定常波はシュレーディンガー方程式から ψ(x) = Aexp(ik*x)+Bexp(-ikx) で与えられる。A,Bは任意の定数である。これよりこのモデル結晶での自由電子の波動関数の定在波は、 ψ(+) = exp(ik*x)+exp(-ikx) = 2cos(kx) ψ(-) = exp(ik*x) - exp(-ikx) = 2isin(kx) のどちらかの形をとると考えられる（☆）。 これにより２つのことなるエネルギーを取りうる。この差をバンドギャップという。この差によってエネルギーは連続性を失う。 ひっかかっているのは☆の部分です。 ・・・なんでこの２つの形が許されるのですか？ 個人的には差をとっているψ(-)が大変気に食わないのですが・・・。波の重ね合わせの議論ならば、和のψ(+)で十分では？ かなり考えたのですがもう泥沼です。助けてください。

キッテル　固体物理学入門の上巻のP.142一次元のエネルギー準位に 「近似的な状態はN個の電子をN個の異なる軌道に配置することによって作られる．各軌道は１電子に対する波動方程式の解である．軌道モデルは電子間に相互作用が存在しないときにのみ厳密である．」 とかかれていますが，これはスピンを無視していませんか？スピンを考えると各軌道に２個まで電子が入ることができますよね？相互作用がなくてもスピンはふたつあると思うのですが．

一次元自由粒子が・・・ 長さLの領域に閉じ込められている場合、波動関数をφとして境界条件φ(0)＝φ(L)＝0を元にシュレディンガー方程式を解くと φ(x)＝（2/L）＾2sin（kｘ）、ｋ＝πｎ/L(ｎ＝1,2,) 長さLの輪を自由粒子が運動している場合、周期的境界条件φ(x)＝φ(x＋L)を元に φ(x)＝(1/L)＾2exp(ikx)　、k＝2π/L(ｎ＝0,±1,±2,)　 なのですが、なぜ境界条件のとき波束ｋは自然数で、周期的境界条件のとき波束は全ての整数になるのですか？？？

シュレディンガー方程式を具体的に解くことができ，波動関数が求まっているときに縮退のあるなしは以下のような考えで判断できますか？ 具体的にもとまったエネルギー固有値に対して，エネルギー固有状態が1つ定まるため縮退はない たとえば エネルギー固有値En に対して エネルギー固有状態が sin(C En x) だった場合，関数の形から縮退なし のように考えるということです． わかりにくくてすみません． また上の考え方が正しいとき縮退があるような形のエネルギー固有関数の形はどのようなものですか？

長さLの１次元の箱の中の自由粒子について、エネルギー固有値と規格化された固有関数を求めるのですが。 φ≡φ（ｘ）を仮定して波動方程式に代入してφで割ると １/φ・（ｄ^2φ）/dx^2=-(2mE)/hバー^2 左辺の項は定数でないといけないので、コレを-k^2とおいて境界条件を満たすφを求める。 φ=Asin((πn)/L)x,E=((π^2・hバー^2)/(2mL^2))n^2 n=1,2,3・・・・・ であってるのですか？教えてくださいお願いします。

ディラックの方程式が任意の慣性系で確率的解釈を許す相対論的波動方程式であることの証明がうまくできません。助けてください。 連続の式を共変形式にあらわすと ∂(_μ)ｊ(^μ)=0 ｊ(^μ)=Φγ(^μ)ψ Φ=ψ(^†)γ(^0) となり、これがローレンツ変換によって不変であることを示すには、j(^μ)がローレンツ変換に対してはんぺんベクトルであればいいので、それを証明したいんですけど。 僕の読んでる教科書では ψ’(x')＝R(a)ψ(x) のR(ａ)の次の式を満たせばディラックの方程式はローレンツ変換に対して形を変えない。 Rγ(^μ)R(^-1)a(^ν)(_μ)＝γ(^μ) として、 無限小ローレンツ変換、ｘ軸方向のブースト、ｚ軸まわりの回転、空間反転を考えると各々で γ(^0)Ｒ(^†)γ(^0)=Ｒ(^-1) が成り立つので、これを使うことによって、ｊ(^μ)がはんぺんベクトルであることを証明しています。 そこで、不思議に思ったのは γ(^0)Ｒ(^†)γ(^0)=Ｒ(^-1) を無限小ローレンツ変換、ｘ軸方向のブースト、ｚ軸まわりの回転、空間反転を考えずに一般的に証明できないのですか? また、上のようなことをやらなくてももっと簡単にj(^μ)ははんぺんベクトルである証明はできるのでしょうか? 式がとても、見づらくてごめんなさい。(^)が上付き、(_)が下付きをあらわしています。 使いそうな式を下に書いときますので、コピーして使ってください。 ∂(_μ)ｊ(^μ)=0 ｊ(^μ)=Φγ(^μ)ψ Φ=ψ(^†)γ(^0) ψ’(x')＝R(a)ψ(x) Rγ(^μ)R(^-1)a(^ν)(_μ)＝γ(^μ) お願いします。

大学でいろいろ研究内容を悩み抜いた末、 「水素吸蔵」や「燃料電池の触媒」について研究することに決めました。 しかし、大学でやってきたことを振り返ると 微分積分、線形代数、化学、電子回路、解析力学、力学、熱力学 電磁気、ベクトル解析、振動波動、複素関数、確率、微分方程式 となり、上記の様な研究についていけるのか心配です。 というか同じ学部生のみんなも同じ授業内容なのですが、 化学がひとつしかなくそれ以外は物理ではないでしょうか？ そこで聞きたいのですが、大学でやってきた科目（上の通り）で上記の研究に関係する科目はあるのでしょうか？ （上にあげた科目は基礎分野です）

今、大学の講義で、構造化学を学んでいますが、疑問が生じました。 水素原子のシュレディンガー方程式を解くと、固有関数が求まります。 しかし、一般にはこの固有関数は複素数関数であり、 実空間に座標が対応しません。したがって二乗を取って存在確率の意味に解釈するわけですが、 ここで、固有関数の解の和は、また波動関数の解であることを利用して、虚数の項を消去できると習いました。 こうしてできた固有関数には、物理的な意味があるのか、というのが私の疑問です。 どなたかお願いします。

４回生なのですが毎週ゼミがあり文献を読み、レジュメを作りみんなの前で発表します。研究室では建築の環境工学（光・熱・音響）を研究してます。 　光の三原色とは何か？とか、なぜ空は青く見えるのか？とかをいろんな文献から厳密に調べて発表してます。でも教授は私はそれは違うと思うとか言ってきます。違うといわれても、○○教授の著書の何ページに書いてあるから正しいですと僕が言うと、文献逃げだなとか言ってきます。 　もっとひどいのが、式の説明です。音響を波動方程式で説明すると、君のは説明であってそんなのはみたらわかる。なぜそういう式になるのか聞きたいんだ！といわれました。2時間ぐらいこんな感じでバカにされます。数学科や物理学科の学生ではないのだから式の説明は必要ないと思います。4回生は毎週こんな感じなので鬱になりそうです。なにかアドバイスをください。

一次元井戸型ポテンシャルV(x)中におかれた質量mの粒子の運動について考える 粒子の波動関数をΦとする ポテンシャルが V(x)=0(0≦x≦a) ∞(x<0 a<x) であるとき以下の問いに答えよ （１）粒子のエネルギーをEとして１次元シュレディンガー方程式を記述せよ （２）粒子のエネルギー準位を低いほうから２つ求めよ （３）規格化された波動関数をエネルギーの低いほうから２つ求めよ （４）存在確立の最も最も高いxの位置をもとめよ 自分の答えは （１）0≦x≦a -h^2/2m*d^2Φ/dx^2=Eφ x<0 a<x -h^2/2m*d^2Φ/dx^2+Vφ=Eφ （２）E=h^2π^2/2ma^2 E=2h^2π^2/ma^2 (3)φ=√a/2*sin(πx/a) φ=√a/2*sin(2πx/a) （４）わかりませんでした こうなったんですけど・・・ 添削と（４）の解説お願いできないでしょうか？

３次元球対称の場における波動関数ψを求める際に、θ方向の式についてわからないことがあったので、どなたかわかる方教えてください。 ラプラシアンを極座標表示にし、ψ=R(r)Θ(θ)Φ(φ)と変数分離して、 sinθ ∂/∂θ (sinθ ∂Θ/∂θ)＋{l(l+1)(sinθ)^2 -m^2}Θ=0 を導出するところまではできたのですが、 x=cosθとおいて 連鎖律などから ∂Θ/∂θ=∂Θ/∂x (-sinθ),∂^2Θ/∂θ^2=∂^2Θ/∂x^2 (-sinθ)^2 を使って上の式を変形したのですが、 (1-x^2)∂^2Θ/∂x^2-x∂Θ/∂x+{l(l+1) -m^2/1-x^2}Θ=0 となり、ルジャンドルの陪微分方程式と第二項の係数だけが異なってしまいます。 第二項の係数が１でなく２になると思うのですが、どこが間違っているのでしょうか教えてください。

(1)シュレディンガー方程式において、V(ｘ)＝0とする。Φ＝Ae^ikx+Be^-ikxのとき、全エネルギーEを求めると、E=(h/2π)^2*(1/2m)k^2であってますか？ (2)また、B＝0のとき、Φ＝Ae^ikxの位置ｘに粒子を見出す確率密度は|Φ|＾2を計算して求めると思うのですが、複素共役のとり方がよくわかりません。複素共役をとって計算するとA^2になると思うのですが、これであってますか？ (3)次に、0＜ｘ＜Lの領域でV（X)＝0で、それ以外は無限大であるとする。この粒子の全エネルギーEと規格化された波動関数Φを求める問題ですが、この問題をどのように解けばよいか教えてください。この問題はΦをオイラーの式で展開しないと解けませんか？

初めまして。 とある波動関数の問題を解いていた際に行き詰ってしまい、いくら調べても良く分からなかったので質問をさせて頂きました。 次のようなシュレディンガー方程式 d^2ψ/dx^2 + (2m/h^2)[E - V(x)]ψ(x) = 0が与えられたとき両辺をa-εからa+εまで積分するとき、波動関数の一階微分dψ/dxが連続であることを示せという問題です。 ここでV(x)は連続であると仮定します。 一応回答はあるのですが、次のような記述がありました。 「V(x)は連続であるから、lim(ε→0) V(a±ε) = V(a)である。ψ(x)が連続であることは既知なので、 『lim(ε→0) (2m/h^2)∫(a-εからa+εまで積分)[V(x)‐E]ψ(x)dx = (2m/h^2)[V(a) - E]ψ(a)lim(ε→0)∫(a-εからa+εまで積分)dx = 0 』」 となっていました。この『』の部分の式変形が意味不明です。なぜx = aを代入した形で積分の前に)[V(a) - E]ψ(a)が出てきているのかがさっぱりわかりません。どなたか助けてください!お願いします。 を

水素原子の波動関数 http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/hydrogen.pdfの１ページ目の最後の三行 「しかし一方の解R ～ρ＾－ｌ－１は以下の点から許されない. (1) l ≠0 ではこの解は規格化できな い. (2) l = 0 では∇＾２ｒ＾－１＝4πδ(r) であるから, r = 0 でシュレディンガー方程式の解にならない. 以上によりR～ρ＾ｌと振舞う解のみが, ここで必要なものである.」 についての質問です。 (1) 「l ≠0 ではこの解は規格化できない」とありますが、ここでいう規格化とは ∫[０～∞]ｒ＾２Ｒ＾２ｄｒ＝１ のことでしょうか？だとしたらなぜ規格化できないのですか？発散とかのことをいいたいなかなあ？とは思うのですが、いまいち良くわかりません。 (2)「l = 0 では∇＾２ｒ＾－１＝4πδ(r) であるから, r = 0 でシュレディンガー方程式の解にならない.」とあるのですが全く意味がわかりません。ｌ＝０ではＲ＝１/ρとなり原点で発散してしまいますがそれと関係あるのですか？ 以上解説お願いします。

無限に深い井戸型ポテンシャルの問題について質問です。 例えばポテンシャルが -L<=x<=L で0 その他がポテンシャル無限 とした時，井戸の外(x<=-L，L<=X)では波動関数は0となるのは理解できるのですが(ポテンシャル無限では粒子は存在できないから)， このときのエネルギー固有値はどうなるんでしょうか? シュレーディンガー方程式を考えると (-h^2/2m∇^2+V)ψ=Eψ (V:ポテンシャル) で，ψ=0だから両片は恒等的に0ですよね? その場合エネルギー固有値って求まらないんでしょうか? (粒子が存在しないんだからエネルギー固有値だって0になるんじゃないかとも思うのですが...) よろしくお願いします。

機械に弱くお手上げなので、どなたか教えてください。 問題は、 「井戸型ポテンシャルの中の粒子の波動関数を求め、基底状態からいくつかの固有値と固有関数をもとめよ」 です。 ポテンシャルエネルギーは、 V(x)=0・・・(|x|>a) V(x)=-V0・・・(|x|≦a) で与えられています。 この問題を、たとえば ＊運動方程式を積分する時＊ ――――― time stepを決める 初期位置と初速をあたえて ステップ数を決める do i=1, nstep ひとつのタイムステップを解く (ここでルンゲクッタ法のサブルーチンを使っても良い) 結果を出力する enddo(繰り返す) ――――― のような形でプログラムに書き下ろしたいのですが、どの様に書けば良いのか分かりません。 どなたか分かる方、よろしくお願いします。

量子力学では、調和振動子の問題の解法には2通りの方法がありますよね。 (1)シュレーディンガー方程式を解析的に解く方法 この方法では、エネルギー固有値がとびとびの値を持つのは、無限遠方で波動関数が0になることを要請した(束縛状態)結果だと理解しています。 (2)生成消滅演算子を用いて解く方法 位置演算子(x)や運動量演算子(p)の線形結合を取って生成消滅演算子(a)や(a*)を定義すると、エネルギー固有値は個数演算子(a*a)だけで書くことができて、その結果エネルギー固有値がとびとびの値を取ります。 (1)の方法では、境界条件が重要だったのに、(2)ではそのような境界条件を課すことなく、エネルギー固有値がとびとびの値を取るのは何故ですか?