- ベストアンサー
ｎ角形の対角線の数
ｎ（ｎ-３）／２という公式？はわかりますが、何故「必ず」÷２となるのかを説明してください。 要するにＷっているので数えないようにする対角線の数が必ず１／２となる理由が理解できないのです。 よろしくお願い致します。
- poolplayer
- お礼率99% (2294/2301)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
たとえば、五角形ABCDEで考えてみましょう。 Aから引ける対角線の数は、ACとADだけです。 AAは線ですらない。ABは対角線ではなく辺。AEも対角線ではなく辺。 よって、Aから引ける対角線の数は、5(＝頂点の数)－3(自分自身＋隣の頂点×2)＝（n－3)です。 それを、5つの頂点すべてで数えるので、n(n－3)です。 ここで、Cから引ける対角線を考えてみます。 Cからは、CEとCAです。 でも、AからCに引いたACと、CからAに引いたCAは、ダブりますよね。 AからDに引いたADと、DからAに引いたDAも、ダブります。 どこからどこに引いても、必ず逆の方向で引いた対角線とダブります。 だから、n(n－3)を2で割るのです。 ＞Ｗっているので数えないようにする対角線の数が必ず１／２となる理由が理解できないのです。 ダブルことは理解できているのでしょうか？ ダブルということは、本来の本数の2倍になるということなのですが、それは理解していますか？
その他の回答 (2)
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
公式の各部分の意味を考えると、 （ｎ－３）：ある頂点から、自分自身と隣の頂点以外に対角線を引くことができる ｎ：頂点の数がｎ個あるので上記をｎ倍する ここで頂点Ａから出発する対角線のうち、例えば頂点Ｃに向けて引いた対角線は、頂点Ｃから出発する対角線のうち頂点Ａに向けて引いた対角線と同じものですね。全ての頂点について同じことがいえるので、ｎ（ｎ＋３）だけでは全ての対角線をダブルカウントしていることになります。
お礼
よくわかりました。 ありがとうございました。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんにちは。 頂点Ａと頂点Ｃの間を線で結ぶとき、 ＡからＣに向かって線を引くのと、ＣからＡに向かって線を引くのとでは、 引き方は違いますが、同じ対角線ですよね。 言い換えると、ダブらないように、２つから１つを選ぶ組み合わせの数（2Ｃ1＝２）で割るということです。
お礼
よくわかりました。 ありがとうございました。
関連するQ&A
- 図形の対角線について質問です。
図形の対角線について質問です。 問題 １つの円周上に、等間隔に並んだ点が N個あります。 このN個の点を結ぶ線を書いたとき、その線の数は２７６本になりました。 点の数は いくらだったのでしょうか？ この問題を解くときの途中式がよくわかりません。 n角形の対角線の本数は(n-3)n/2でもとめられるから、 (n-3)n/2＝276となり、整理すると 2×{n(n-3)n/2＋n}＝2×276 となるらしいのですが、＋nとはなんでしょうか？ 私はこのように計算したのですが、違うようでした。 (n-3)n/2＝276 両辺に2をかけて (n-3)n＝552 n^2-3n-552＝0 しかし、因数分解した値が自然数でないので答えになりません。 どうかご教示お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- （超難問）正n角形の対角線の交点の個数は?
正n角形の対角線はn(n-3)/2本ありますが、これらの交点は何個あるのか、気になります。 ここで難しいのは、異なる3本の対角線が一点で交わることがありうるからです。 さらに、異なる4本の対角線が一点で交わることもあったりして複雑なかんじがします。 いろいろネット上で検索してみて、角度の問題の難問として有名なラングレー問題と関係あるのは分かります。 ラングレイ問題で出題される角度がすべて2π/2mの倍数のとき、正m角形の異なる3つの対角線が一点で交わる場合がある。 http://ir.nul.nagoya-u.ac.jp/dspace/handle/2237/5211を参考 そのサイトの133ページによると、正n角形の異なる3本の対角線が一点で交わる条件が単位円上の複素数を用いて書かれ、手計算では円分多項式を利用できるとあります。 しかし、そのすべての場合を求めるのは、コンピュータを頼っているようです。 それなのに、 http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9508/9508209v3.pdf の3ページのtheorem1によると「正n角形の対角線の交点の個数I(n)」の公式があるようです。 どうしてそのような公式になるのか教えていただけないでしょうか？ サイトが複雑なのでもっとやさしい参考サイトでもいいので教えてください。 たとえば、n=30の場合でもいいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 自然数と小数を1対1対応で対角線論法し無矛盾したい
自然数と有理数(循環小数)を1対1対応をつけて、対角線論法して無矛盾したいです。 自然数を1から始めることにします。 斜めに拾った数字で数を作ります。 有理数は循環小数なので、0.1010101・・・を0⇔1変換すると 0.0101010・・・になるのでは?が基本アイデアです。 自然数と有理数(循環小数)の一部を2進数表記にして 対応付けを作ります。 リスト1 1:11/12 =0.916666666・・・は2進数表記で 0.1110101010101… 2:8 /12 =0.666666666・・・は2進数表記で 0.1010101010101… 3:11/48 =0.229166666・・・は2進数表記で 0.0011101010101… 4:8 /48 =0.166666666・・・は2進数表記で 0.0010101010101… 5:11/192=0.057291666・・・は2進数表記で 0.0000111010101… 6:8 /192=0.416666666・・・は2進数表記で 0.0000101010101… 7:11/768=0.014322916・・・は2進数表記で 0.0000001110101… 8:8 /768=0.010416666・・・は2進数表記で 0.0000001010101… . n:11/3*2^(n+1){nは奇数}は2進数表記で 0.(0がn-1個続いて)11101010101… n:8 /3*2^(n ){nは偶数}は2進数表記で 0.(0がn-2個続いて)10101010101… . . 1つ目の有理数(循環小数)の小数1桁目を0⇔1反転し、 nつ目の有理数のn桁目を0⇔1反転して 対角線論法で作った2進数は0.010101010101…です。 でもリスト1に数がないです。 2つ目と3つ目の間に0.0101010101010…を入れると、 対角線論法で作った2進数が変わってしまい、うまくいきませんでした。 しょうがないので一桁づらしてリスト2を作ります。 リスト2 1:11/24 =0.4583333333・・・は2進数表記で 0.0111010101010… 2:8 /24 =0.3333333333・・・は2進数表記で 0.0101010101010… 3:11/96 =0.1145833333・・・は2進数表記で 0.0001110101010… 4:8 /96 =0.0833333333・・・は2進数表記で 0.0001010101010… 5:11/384 =0.0286458333・・・は2進数表記で 0.0000011101010… 6:8 /384 =0.0208333333・・・は2進数表記で 0.0000010101010… 7:11/1536=0.0071614583・・・は2進数表記で 0.0000000111010… 8:8 /1536=0.0052083333・・・は2進数表記で 0.0000000101010… . n:11/3*2^(n ){nは奇数}は2進数表記で 0.(0がn-1個続いて)01110101010… n:8 /3*2^(n+1){nは偶数}は2進数表記で 0.(0がn-2個続いて)01010101010… となって、リスト2の2つ目にリスト1から対角線論法で作った数が出てきます。 なんとなく自然数と有理数の一部が対応したような感じがします。 リスト1とリスト2個別にみれば 単調増加なので同じ有理数に、違う自然数が対応してるような 感じがします。 ・基本的に誤りでしょうか? ・リストが2つに分かれちゃいましたが1つにまとめられますか? ・有理数全体の有限小数でつまり、循環のパターン110とか001とか がたくさんあっても対角線論法で、無矛盾するためには どうすればよいでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ｎ^2－２０ｎ＋９１が素数となる整数ｎの値・・・
すごく、基本的な問題だと思うのですが、考え方に疑問があります。 ｎ^2－２０ｎ＋９１が素数となる整数ｎの値を求める問題です。 参考書の解説には、題式を因数分解して＝（ｎ－７）（ｎ－１３）とし、 Ｐが素数のとき、素因数分解したとき１×Ｐにしかならないので、 ｎ－７又はｎ－１３のどちらかが１ということで、 ｎ－７＝±１またはｎ－１３＝±１とおいています。 自分が分からないので、「±」です。素因数分解したとき１×Ｐにしかならないので、 ｎ－７＝１またはｎ－１３＝１とおいてしまいました。 なぜ、±１とおけるのかが分かりません。要は－１がどのようにして条件になるのかが理解 できていません。 そういうわけでございます。考え方の質問です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正ｎ角形の対角線の交点の数I(n)についての予想
正ｎ角形の交点の数I(n)を調べてみると（実際書きましたｗ） 二つの予想がでました。 予想その１ ｎが奇数のときかつ４以上のとき I(n)をｎ=4から順にもとめていくと I(n)=奇数、奇数、偶数、偶数、奇数、奇数・・・ となることに気がつきました。 ちなみにこのときのI(n)=nC４と考えています。 予想その２ ｎが偶数のとき I(n)=奇数となることに気がつきました。 ちなみにこのときのI(n)の式はまだ分かっていません。 どなたかこの二つの予想を証明or反例をあげてください。 一応参考として、 正ｎ角形の交点の数 I(n)＝１（ｎ＝４） ５（ｎ＝５） 13（ｎ＝６） 35（ｎ＝７） 49（ｎ＝８） 126（ｎ＝９） 161（ｎ＝１０） 330（ｎ＝１１） 301（ｎ＝１２） ｎ＝７、９、１１のときはうまくかけなかったので 正確でないかもしれませんorz (がんばってできるだけ正確に書いたつもりですが）
- 締切済み
- 数学・算数
- 対角化可能と固有ベクトル
Ｐの逆行列をＰ^(-1)とします。このとき、P^(-1)ＡＰ＝Ｄ（対角行列）を満たす正則行列Ｐを具体的に与え、P^(-1)ＡＰが何になるかを示しつつ、Ｐが正則行列になる理由、P^(-1)ＡＰがそのような形になる理由を説明し、 以上の点を踏まえ、n次正方行列Ａがn個の線形独立な固有ベクトル a_1,・・・・a_n（固有値はp1,・・,pn）を持てば、Ａは正則行列により対角化可能であることの証明です。 上記証明なのですが、どう進めていけばいいのかわかりません。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
変な先入観がありました。よく考えたら対角線はすべてWりです。 ありがとうございました。