自然数と有理数の対角線論法と無矛盾性の探求
- 自然数と有理数(循環小数)を1対1対応させる対角線論法を考え、無矛盾性を探求します。
- 自然数を1から始め、有理数の一部を2進数表記に変換して対応付けを行います。
- 対角線論法で生成した2進数は0.010101010101...となりますが、一部の有理数が欠落しています。
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自然数と小数を1対1対応で対角線論法し無矛盾したい
自然数と有理数(循環小数)を1対1対応をつけて、対角線論法して無矛盾したいです。 自然数を1から始めることにします。 斜めに拾った数字で数を作ります。 有理数は循環小数なので、0.1010101・・・を0⇔1変換すると 0.0101010・・・になるのでは?が基本アイデアです。 自然数と有理数(循環小数)の一部を2進数表記にして 対応付けを作ります。 リスト1 1:11/12 =0.916666666・・・は2進数表記で 0.1110101010101… 2:8 /12 =0.666666666・・・は2進数表記で 0.1010101010101… 3:11/48 =0.229166666・・・は2進数表記で 0.0011101010101… 4:8 /48 =0.166666666・・・は2進数表記で 0.0010101010101… 5:11/192=0.057291666・・・は2進数表記で 0.0000111010101… 6:8 /192=0.416666666・・・は2進数表記で 0.0000101010101… 7:11/768=0.014322916・・・は2進数表記で 0.0000001110101… 8:8 /768=0.010416666・・・は2進数表記で 0.0000001010101… . n:11/3*2^(n+1){nは奇数}は2進数表記で 0.(0がn-1個続いて)11101010101… n:8 /3*2^(n ){nは偶数}は2進数表記で 0.(0がn-2個続いて)10101010101… . . 1つ目の有理数(循環小数)の小数1桁目を0⇔1反転し、 nつ目の有理数のn桁目を0⇔1反転して 対角線論法で作った2進数は0.010101010101…です。 でもリスト1に数がないです。 2つ目と3つ目の間に0.0101010101010…を入れると、 対角線論法で作った2進数が変わってしまい、うまくいきませんでした。 しょうがないので一桁づらしてリスト2を作ります。 リスト2 1:11/24 =0.4583333333・・・は2進数表記で 0.0111010101010… 2:8 /24 =0.3333333333・・・は2進数表記で 0.0101010101010… 3:11/96 =0.1145833333・・・は2進数表記で 0.0001110101010… 4:8 /96 =0.0833333333・・・は2進数表記で 0.0001010101010… 5:11/384 =0.0286458333・・・は2進数表記で 0.0000011101010… 6:8 /384 =0.0208333333・・・は2進数表記で 0.0000010101010… 7:11/1536=0.0071614583・・・は2進数表記で 0.0000000111010… 8:8 /1536=0.0052083333・・・は2進数表記で 0.0000000101010… . n:11/3*2^(n ){nは奇数}は2進数表記で 0.(0がn-1個続いて)01110101010… n:8 /3*2^(n+1){nは偶数}は2進数表記で 0.(0がn-2個続いて)01010101010… となって、リスト2の2つ目にリスト1から対角線論法で作った数が出てきます。 なんとなく自然数と有理数の一部が対応したような感じがします。 リスト1とリスト2個別にみれば 単調増加なので同じ有理数に、違う自然数が対応してるような 感じがします。 ・基本的に誤りでしょうか? ・リストが2つに分かれちゃいましたが1つにまとめられますか? ・有理数全体の有限小数でつまり、循環のパターン110とか001とか がたくさんあっても対角線論法で、無矛盾するためには どうすればよいでしょうか?
- sunabo
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質問の意図を誤解してるかも知れませんが、いちおう自分の意見を書いてみます。 まず2進表現を使う事は本質的でないと思いますので、以下では小数と言ったら10進表現です。 有理数は分数で考えると、2次元平面の格子点全てとほぼ等価です（Ｚ^2とほぼ等価。Z：整数全体の集合）。実際に2次元平面の格子点を1，2，3，4，・・・と数えて全ての格子点を拾う方法は、ご存じと思います。 そうすると全単射なf：N→Q（N：自然数全体の集合，Q：有理数全体の集合）は具体的に与える事が可能です。従ってfを用いれば、リストを作る手順を具体的に与え得るのも当然となります。ここでリストの有理数を10進小数にするか、2進表現にするかは副次的な事です。とにかく有理数全部を自然数によって番号付けする手順は、本当に具体的に記述できる訳ですから。 引っかかり所は（問題は）、そうやって作ったリストに対しても、対角線論法の論理はあい変らず有効だという点だと思ったのですが。 対角線に沿って数字をずらしていって得た実数αは、確かにリストに含まれるものではありません。含まれるとしたら矛盾します。だからそれは有理数ではない実数です。 つまりそうやって得た実数αに対してやるべき事は、αが無理数である事の証明だと思うんです。少なくとも自分はそれを、構成的には行えませんが。 まかり間違って実数αが有理数だという証明が出来てしまったら、今度はリストの作成法が検討すべき事になります。NとQの真部分集合との間にも、いくらでも全単射は定義できますから。N→[Nの偶数全体の集合]、・・・みたいに。つまりリストは、有理数全体を尽くしていなかったんだ、と考えるべきだと思います。
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- chie65535
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基数（底）が異なると、循環小数も異なる。 例えば「１０進数で0.3333333…」は「３／（１０－１）」だし「８進数で0.3333333…」は「３／（８－１）」になる。 １０進数で0.235235235235…は２３５／（１０００－１）になる。つまり、２３５／（１０の３乗ー１）になる。 ８進数で0.235235235235…は２３５／（５１２－１）になる。つまり、２３５／（８の３乗ー１）になる。 ２進数で0.101010101010…は２／（４－１）になる。つまり、２／（２の２乗－１）になる。 ２進数で0.010101010101…は１／（４－１）になる。つまり、１／（２の２乗ー１）になる。 ２進数で0.100100100100…は４／（８－１）になる。つまり、４／２の３乗ー１）になる。 従って「１０進数で循環小数になったからといって、同じ値が、他の進数で循環小数になるとは限らない」のである。 例えば「１０進数の０．２」は」１０進数では循環小数ではない」が「２進数では循環小数」になる。 循環小数になる値とは「分母が進数の基数のＮ乗ー１、の分数で表される数を含む数」である。 １０進数なら、分母が「９」や「９９」や「９９９」になった分数は、循環小数になる。 ２進数なら、分母が「１（２進）」や「１１（２進）」や「１１１（２進）」になった分数は、循環小数になる。 １０進数の「0.2」は、分数にすると「１／５」であるが「３／１５」とも書ける。 分母の「１５」は「４の２乗ー１」であり「２の４乗ー１」であるので、この値は「４進数にした時」と「２進数にした時」に「循環小数」となる。 実際、１０進の0.2は、４進数では0.333333333…であるし、２進数では0.001100110011…である。 従って、質問者さんが作ったリスト１もリスト２も、何の意味も持たない。
お礼
回答ありがとうございます。 指摘は、 ・１つの有理数がn進法表記のちがいで、循環小数になったりならなかったりする ・循環小数になる1つの条件は、分母がn進法のn^a-１、の既約分数で表される数 ・循環小数のすべてをリストに出し尽くしてないから意味がない ですね。 了解できたと思います。
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補足
質問者です。やはり、私が差し出がましかったでした。 回答者様は対角線論法が有理数で閉じてないって言ってました。 実数に対角線論法すると、実数が出る。 有理数に対角線論法すると、実数(有理数だけじゃない)が出る。 はみでないとき 自然数を加法すると自然数が出ます。 はみでるとき 自然数を減法すると整数(自然数と負の数)が出ます。 自然数を除法すると有理数(自然数と有限小数と循環小数)が出ます。 有理数を対角線論法すると実数がでる。はみでるんですなたぶん。 有限2桁の小数に対角線論法すると、有限2桁が出ます。 1:0.11 2:0.10 3:0.01 4:0.00 対角線論法=0.01リストの3番目にある。 下記3点を納得するとすっきりしそうです。 ・無限桁に対角線論法すると無限桁の小数がでます。 ・その小数はリストにない。 ・その小数は数字を無限個選んで、なんかうまいぐあいに循環小数になると考えられない(回答者様は構成的にこれを行えないけど、もしかしたらできる人もいるかもねといっています。) 的を得た回答でした。 重ねて申し上げます。ありがとうございました。 ベストアンサーにします。