- 締切済み
正ｎ角形の対角線の交点の数I(n)についての予想
正ｎ角形の交点の数I(n)を調べてみると（実際書きましたｗ） 二つの予想がでました。 予想その１ ｎが奇数のときかつ４以上のとき I(n)をｎ=4から順にもとめていくと I(n)=奇数、奇数、偶数、偶数、奇数、奇数・・・ となることに気がつきました。 ちなみにこのときのI(n)=nC４と考えています。 予想その２ ｎが偶数のとき I(n)=奇数となることに気がつきました。 ちなみにこのときのI(n)の式はまだ分かっていません。 どなたかこの二つの予想を証明or反例をあげてください。 一応参考として、 正ｎ角形の交点の数 I(n)＝１（ｎ＝４） ５（ｎ＝５） 13（ｎ＝６） 35（ｎ＝７） 49（ｎ＝８） 126（ｎ＝９） 161（ｎ＝１０） 330（ｎ＝１１） 301（ｎ＝１２） ｎ＝７、９、１１のときはうまくかけなかったので 正確でないかもしれませんorz (がんばってできるだけ正確に書いたつもりですが）
- kanikama11
- お礼率75% (15/20)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数20
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
みんなの回答
- jo-zen
- ベストアンサー率42% (848/1995)
ANo.1のjo-zenです。補足です。 以下のURLも参考にしてみてください。 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/report/diagonal18.pdf
- jo-zen
- ベストアンサー率42% (848/1995)
以下のURLを参考にしてみてください。 http://www.geocities.jp/tomodak_grapes/volume24.html
お礼
とても参考になりました！ ｎが素数のとき I(ｎ）＝ｎC4であることがはっきりしたので助かりました。 予想その１は ｎC４でｎ＝４から順にもとめていくと 奇・奇・偶・偶・・・となることを証明すればいいみたいですね。 素数
関連するQ&A
- 正奇数角形の異なる任意の3本の対角線の交点について．
正奇数角形の異なる任意の3本の対角線の交点について． 「正奇数角形の異なる任意の3本の対角線は多角形の頂点以外の1点で交わることがない．」 という命題は真だと思いますが，うまく証明できません． 正素数角形の場合は証明できたのですが，奇数の場合はできません． どなたか教授願います． おそらく難問だと思うので気長に待ちます．
- 締切済み
- 数学・算数
- （超難問）正n角形の対角線の交点の個数は?
正n角形の対角線はn(n-3)/2本ありますが、これらの交点は何個あるのか、気になります。 ここで難しいのは、異なる3本の対角線が一点で交わることがありうるからです。 さらに、異なる4本の対角線が一点で交わることもあったりして複雑なかんじがします。 いろいろネット上で検索してみて、角度の問題の難問として有名なラングレー問題と関係あるのは分かります。 ラングレイ問題で出題される角度がすべて2π/2mの倍数のとき、正m角形の異なる3つの対角線が一点で交わる場合がある。 http://ir.nul.nagoya-u.ac.jp/dspace/handle/2237/5211を参考 そのサイトの133ページによると、正n角形の異なる3本の対角線が一点で交わる条件が単位円上の複素数を用いて書かれ、手計算では円分多項式を利用できるとあります。 しかし、そのすべての場合を求めるのは、コンピュータを頼っているようです。 それなのに、 http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9508/9508209v3.pdf の3ページのtheorem1によると「正n角形の対角線の交点の個数I(n)」の公式があるようです。 どうしてそのような公式になるのか教えていただけないでしょうか？ サイトが複雑なのでもっとやさしい参考サイトでもいいので教えてください。 たとえば、n=30の場合でもいいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学Iの集合と論証について教えてください
集合と論証が全く分からないので、教えてください。 （問題）nが自然数のとき、次の命題が真であることを証明しなさい。 （命題）(n+1)^2は偶数⇒nは奇数 （証明） 与えられた命題の対偶 nは偶数⇒(n+1)^2は奇数 が真であることを証明する。 nを正の偶数とすると、mを自然数として n=2m+2 と表すことができる。このとき、 n+1=？？ ？？が分かりません。普通に2m+2+1で良いんですか？ あと上の証明は合ってますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学Ａの条件のことについて…詳しく教えて下さい…
ｍは奇数またはｎは奇数→積ｍｎは奇数 という問題がありました。 わからなかったので答えをみたところ、これは偽で反例が(ｍ=1，ｎ=2)でした。どうしてｎは奇数と書いてあるのに反例で偶数がでてくるのでしょうか？ ちなみに受験生です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法について
次の命題を考えます n^2が偶数⇒nは偶数 「これを証明するために背理法を用いてこの命題の否定であるn^2が偶数∧nは奇数が真であると仮定して、 矛盾を導く。 今、nは奇数なのであるkが存在して２k+1と表せる。(２k+1)^2=2(2k^2+2k)+1より、n^2は奇数。 よってn^2が偶数∧nは奇数のn^2が偶数という条件と矛盾。 よって命題はただしい。（方針はこれでお願いします）」 ここで、n=2のとき、上同様に証明してみるとおかしなことに命題の否定が真になってしまいます。 2^2が偶数⇒２は偶数を証明するためにこの命題の否定である２^2が偶数∧２は奇数が真であると仮定して、２が奇数なので２^2＝４より偶数よって２^2が偶数∧２は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒２は偶数は偽になる（？） これはどこがいけないのでしょうか。 一般のnが証明できたからn＝２の時も成り立つのではないのでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コラッツ予想が証明できた
コラッツ予想が証明できたという人のサイトを見ました。 http://www.idel.co.jp/index.html ちなみに、コラッツ予想とは、 「任意の0でない自然数 n をとり、 n が偶数の場合、n を 2 で割る n が奇数の場合、n に 3 をかけて 1 を足す という操作を繰り返すと、有限回で 1 に到達する」 早速そのうさんくさそうな証明に間違いを見つけようと思いましたが、 僕の力ではよくわかりませんでした。 そのサイトの証明はあっているのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コラッツの予想ははずれた。
ある数が奇数なら、3を掛けて1を足す。ある数が偶数なら2で割る。計算結果が奇数なら、また3を掛けて1を足す。偶数なら、また2で割る。その計算を続けて行くと、ありとあらゆる数から始めても、最後は全て4→2→1→4→2→1の繰り返しになるのではないかと、コラッツは予想しました。 計算値が次第に小さくなって行くと、必ず最終的には4→2→1の繰り返しになってしまいます。従って、計算値が、無限に大きくなって行く様な始まりの数があれば、必ずしも4→2→1の繰り返しにはならないことが証明されます。 最初の数が奇数（Ｘ）の場合、3を掛けて1を足すと、Ｘ（奇数）×3（必ず奇数）+1＝Ｙ（必ず偶数）となります。従って、Ｙは偶数なので、次の計算は必ず割る2となります。よって、幾ら計算値をどんどん大きくしていこうとしても、Ｘ（奇数）×3+1=Ｙ（偶数）→Ｙ（偶数）÷2＝Ｚ（奇数）、Ｚ（奇数）×3+1＝Ｏ（偶数）、Ｏ（偶数）÷2＝Ｐ（奇数）と、奇数→偶数の繰り返し以上には、計算値は大きくなっては行かないことが分かります。つまり、（ある奇数×3+1）÷2の計算結果が、必ず奇数であれば、計算値は無限に大きくなって行き、必ずしも最後は4→2→1の繰り返しとはならないことが証明されます。 では、その様な始まりの奇数Ｘがあるか否か、エクセルを使って検証してみましょう。列Ａに上の行から順番に、1・3・5・7・9・11・・・・と奇数を入力してください。列Ｂに上から順に「＝（Ａ１×3+1）/2」「＝（Ａ2×3+1）/2」「＝（Ａ3×3+1）/2」・・・・と、左のＡ列の奇数を3倍して1を足し2で割る数式を入力します。列Ｃに上から順に「＝（Ｂ１×3+1）/2」「＝（Ｂ2×3+1）/2」「＝（Ｂ3×3+1）/2」・・・・Ｂ列のセルの計算値を、更に3倍して1を足し2で割る数式を入力します。同様の式をＤ列・Ｅ列・Ｆ列・・・に入力して行き、どんどん3倍して1を足し2で割る計算を行います。 この結果、全ての列の計算値が奇数となるものがあれば、計算値は無限に大きくなって行きます。そこで、各列において奇数が出現する様子を見てみましょう。Ｂ列では、上から2回に1度5・11・17・23・29・35・・と奇数が現れます。Ｃ列では、4回に1度17・35・53・71・89・107・125・・・と奇数が現れます。Ｄ列では8回に１度53・107・161・215・269・323・・・と奇数が現れます。Ｅ列では、16回に１度161・323・485・647・809・・・と奇数が現れます。Ｆ列では、32回に１度485・971・1457・1943・2429・2915・・・と奇数が現れます。Ｇ列では、64回に１度1457・2915・4373・5831・7289・・・・と奇数が現れます。以後同様に、Ｈ列では128回に１度、Ｉ列では256回に１度、Ｊ列では512回に１度奇数が現れます。 ここまでの計算で、奇数が連続するのは、512行目の1,023・1,535・2,303・3,455・5,183・7,775・11,663・17,495・26,243・39,365の1つです。3倍して1を足し2で割る計算をｎ回行えば、全ての計算値が奇数になるものは、2のｎ乗分の1に減少していきます。この事実は、簡単に証明出来るでしょう。 従って、計算を行えば行う程、計算値が奇数の連続になるものは1/2・1/4・1/8・1/16・1/32・・どんどん半分に減少していきます。しかし、無限の数の中では、2のｎ乗分の1は決して0にはなりません。3倍して1を足し2で割る計算をｎ回する場合、1から数えて2のｎ乗番目の奇数（又はその倍数番目の奇数）から始めると、ｎ回の計算結果全てが奇数となります。計算値は大きくなる一方で、4→2→1の繰り返しにはなりません。 有限の数の範囲内では、計算値がその範囲を超えるまで計算を行っていけば、奇数が連続しなくなります。しかし、無限の数の中では、常に先に2のｎ乗番目の奇数があります。それは（1+2×2のｎ乗）で表現される数値で、尽きることはありません。そのｎを∞にした数値から始めれば、無限に計算を繰り返しても4→2→1の繰り返しにはなりません。 少なくとも1組は、永遠に奇数が連続し数値が大きくなっていく組み合わせが存在します。従って、コラッツの予想は残念ながら誤っています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コラッツの予想ははずれました。-
ある数が奇数なら、3を掛けて1を足す。ある数が偶数なら2で割る。計算結果が奇数なら、また3を掛けて1を足す。偶数なら、また2で割る。その計算を続けて行くと、ありとあらゆる数から始めても、最後は全て4→2→1→4→2→1の繰り返しになるのではないかと、コラッツは予想しました。 計算値が次第に小さくなって行くと、必ず最終的には4→2→1の繰り返しになってしまいます。従って、計算値が、無限に大きくなって行く様な始まりの数があれば、必ずしも4→2→1の繰り返しにはならないことが証明されます。 最初の数が奇数（Ｘ）の場合、3を掛けて1を足すと、Ｘ（奇数）×3（必ず奇数）+1＝Ｙ（必ず偶数）となります。従って、Ｙは偶数なので、次の計算は必ず割る2となります。よって、幾ら計算値をどんどん大きくしていこうとしても、Ｘ（奇数）×3+1=Ｙ（偶数）→Ｙ（偶数）÷2＝Ｚ（奇数）、Ｚ（奇数）×3+1＝Ｏ（偶数）、Ｏ（偶数）÷2＝Ｐ（奇数）と、奇数→偶数の繰り返し以上には、計算値は大きくなっては行かないことが分かります。つまり、（ある奇数×3+1）÷2の計算結果が、必ず奇数であれば、計算値は無限に大きくなって行き、必ずしも最後は4→2→1の繰り返しとはならないことが証明されます。 では、その様な始まりの奇数Ｘがあるか否か、エクセルを使って検証してみましょう。列Ａに上の行から順番に、1・3・5・7・9・11・・・・と奇数を入力してください。列Ｂに上から順に「＝（Ａ１×3+1）/2」「＝（Ａ2×3+1）/2」「＝（Ａ3×3+1）/2」・・・・と、左のＡ列の奇数を3倍して1を足し2で割る数式を入力します。列Ｃに上から順に「＝（Ｂ１×3+1）/2」「＝（Ｂ2×3+1）/2」「＝（Ｂ3×3+1）/2」・・・・Ｂ列のセルの計算値を、更に3倍して1を足し2で割る数式を入力します。同様の式をＤ列・Ｅ列・Ｆ列・・・に入力して行き、どんどん3倍して1を足し2で割る計算を行います。 この結果、全ての列の計算値が奇数となるものがあれば、計算値は無限に大きくなって行きます。そこで、各列において奇数が出現する様子を見てみましょう。Ｂ列では、上から2回に1度5・11・17・23・29・35・・と奇数が現れます。Ｃ列では、4回に1度17・35・53・71・89・107・125・・・と奇数が現れます。Ｄ列では8回に１度53・107・161・215・269・323・・・と奇数が現れます。Ｅ列では、16回に１度161・323・485・647・809・・・と奇数が現れます。Ｆ列では、32回に１度485・971・1457・1943・2429・2915・・・と奇数が現れます。Ｇ列では、64回に１度1457・2915・4373・5831・7289・・・・と奇数が現れます。以後同様に、Ｈ列では128回に１度、Ｉ列では256回に１度、Ｊ列では512回に１度奇数が現れます。 ここまでの計算で、奇数が連続するのは、512行目の1,023・1,535・2,303・3,455・5,183・7,775・11,663・17,495・26,243・39,365の1つです。3倍して1を足し2で割る計算をｎ回行えば、全ての計算値が奇数になるものは、2のｎ乗分の1に減少していきます。この事実は、簡単に証明出来るでしょう。 従って、計算を行えば行う程、計算値が奇数の連続になるものは1/2・1/4・1/8・1/16・1/32・・どんどん半分に減少していきます。しかし、無限の数の中では、2のｎ乗分の1は決して0にはなりません。3倍して1を足し2で割る計算をｎ回する場合、1から数えて2のｎ乗番目の奇数（又はその倍数番目の奇数）から始めると、ｎ回の計算結果全てが奇数となります。計算値は大きくなる一方で、4→2→1の繰り返しにはなりません。 有限の数の範囲内では、計算値がその範囲を超えるまで計算を行っていけば、奇数が連続しなくなります。しかし、無限の数の中では、常に先に2のｎ乗番目の奇数があります。それは（1+2×2のｎ乗）で表現される数値で、尽きることはありません。そのｎを∞にした数値から始めれば、無限に計算を繰り返しても4→2→1の繰り返しにはなりません。 少なくとも1組は、永遠に奇数が連続し数値が大きくなっていく組み合わせが存在します。従って、コラッツの予想は残念ながら誤っています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 証明
m,nが奇数のとき、(m＾2)-（ｎ＾2) は8で割り切れることを証明するには m=2α＋1 n=2β＋1 (α、βは整数とおくと） (m＾2)-（ｎ＾2)=(m＋n)(m-n) m＋n=2(α＋β＋1) m-n=2(α-β） (m＾2)-（ｎ＾2)=4(α＋β＋1)(α-β） までは考えたのですが そのあと、 (１)αが奇数，βが奇数⇒α＋β＋１が奇数，α－βが偶数 (２)αが奇数，βが偶数⇒α＋β＋１が偶数，α－βが奇数 (３)αが偶数，βが奇数⇒α＋β＋１が偶数，α－βが奇数 (４)αが偶数，βが偶数⇒α＋β＋１が奇数，α－βが偶数 となり，(α＋β＋１)(α－β)は偶数です． よって、８の倍数といえる これでも合ってますか？ 以前、回答がこなかったのでもういちどおねがいします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (-1)^nでnを無限大にとばしたとき
大学受験用の参考書にて、 (-1)^n はn→∞において、 nが偶数のとき1 nが奇数のとき-1 となっています。 さらに、 2n乗では1 2n±1乗では-1 となっています。 そこで質問なのですが、以前に無限大というのは数ではなく量だと聞きました。それなのになぜ偶数や奇数があるのでしょうか。また2nや2n±1でわかれるということは、無限大というのは自然数なのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。 中心を通る線上以外にも３本交わっている点があるだろうな ということは予想していましたが、 中心を通る線上で４本、５本の線が交わるのは以外でした。 中心を通らない線上の交点で４本以上交わる点はあるのでしょうか？