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対角線の数を求める公式

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お礼率 55% (574/1042)

n角形の対角線の数を求めるのに、n(n-3)/2という公式がありますよね。この式の証明を教えていただきたいのですが。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4
レベル8

ベストアンサー率 41% (13/31)

n角形には、n個の頂点があります。
直線を引くには、二点を結べば線が引けます。
n個の頂点を結ぶ線は、2個の点を選ぶことと同じなので nC2 個あります。
ただし、対角線とは、外側のn個の辺は除くので
対角線の個数は、nC2 - n 個です。
あとは計算で
nC2 - n =n(n-1)/2-n
=n(n-3)/2 となります。
お礼コメント
heero01

お礼率 55% (574/1042)

 結構簡単な証明だという事がわかりました。どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-15 09:09:58
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル5

ベストアンサー率 50% (2/4)

n角形の対角線の数 1・頂点の数は、n個。 2・対角線は、隣り合わない頂点間の線である。 3・ある1つの頂点に対して、隣り合わない頂点の数は、 n-3 個。 4・すなわち、ある1つの頂点に対して、n本の対角線が引ける。 5・n個の頂点から、引ける対角線の数は、n(n-3)。 6・頂点Aから頂点Bへの対角線と、頂点Bから頂点Aへの対角線は同一とするので、合計の対角線の数は半分になる。 7・ ...続きを読む
n角形の対角線の数

1・頂点の数は、n個。
2・対角線は、隣り合わない頂点間の線である。
3・ある1つの頂点に対して、隣り合わない頂点の数は、 n-3 個。
4・すなわち、ある1つの頂点に対して、n本の対角線が引ける。
5・n個の頂点から、引ける対角線の数は、n(n-3)。
6・頂点Aから頂点Bへの対角線と、頂点Bから頂点Aへの対角線は同一とするので、合計の対角線の数は半分になる。
7・よって、n(n-3)/2 になる。

ちょっと言葉の表現が、うまくないような気がします。
とくに、6あたりはカッコ悪いですね。
「対角線は、頂点を2つ持つから2で割る」と言ってもいいですね。
お礼コメント
heero01

お礼率 55% (574/1042)

 そんな事はありません。よく分かりました。ありがとうございます。
投稿日時 - 2002-02-15 09:14:15

  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 36% (27/73)

ある頂点から他の頂点へ引かれる対角線の本数は,自分と両隣の頂点を除いた頂点の数だけあります.....(n-3) 各頂点の合計は...n(n-3) 対角線を両方向から重複して2回数えているので1/2してn(n-3)/2 ...続きを読む
ある頂点から他の頂点へ引かれる対角線の本数は,自分と両隣の頂点を除いた頂点の数だけあります.....(n-3)

各頂点の合計は...n(n-3)

対角線を両方向から重複して2回数えているので1/2してn(n-3)/2
お礼コメント
heero01

お礼率 55% (574/1042)

ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-15 09:15:29
  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 26% (81/308)

まず、1つの角から対角線を引いてみると、 両隣の角と今引こうとしている角には、 対角線が引けないので(n-3) それがn角あるので n(n-3) 全ての角から対角線を引くと、行って来いでダブってしまう為、 2で割らなければならない。 ということで、 n(n-3)なります。 ...続きを読む
まず、1つの角から対角線を引いてみると、
両隣の角と今引こうとしている角には、
対角線が引けないので(n-3)
それがn角あるので n(n-3)
全ての角から対角線を引くと、行って来いでダブってしまう為、
2で割らなければならない。
ということで、
n(n-3)なります。
お礼コメント
heero01

お礼率 55% (574/1042)

 ありがとうございました。分かりやすかったです。
投稿日時 - 2002-02-15 09:11:45
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